突出四个“基本点”，强化导数及应用

■江苏省张家港中等专业学校 韩文美

函数与导数之间的关系是贯穿于整个高中数学体系的一个基本知识点,借助导数法,以函数为根本,实现函数问题的进一步深入与拓展,是历年高考中考查的重点与难点之一。涉及导数及其应用问题,可以从以下四个“基本点”入手解答。

1.夯实基点

导数与应用中的基点是:利用函数的构造或已有函数的应用,通过导数研究函数的单调性、极值与最值等,关键在于基本运算。

综上分析,当x∈(-∞,x0)时,r(x)≥0,即h′(x)≥0,h(x)单调递增;当x∈(x0,+∞)时,r(x)<0,即h′(x)<0,h(x)单调递减。

而h(0)=0,当x<0时,h(x)0时,x>sinx,h(x)>0,且当x趋于正无穷时,h(x)趋于0。

点评:本题以多选题的形式出现,利用导数解决函数的单调性、函数的零点问题,实现题设条件与结论之间的无缝链接,借助构造新函数,利用导数及其应用来确定新函数的单调性,这是此类问题中最重要的基本考点,也是解决问题的关键所在。

2.突出重点

导数及其应用中的重点是:指数型、对数型函数的数学运算,以及与之相应的不等式存在或恒成立问题,涉及恒成立问题、存在性问题以及极值点偏移问题,关键在于函数作差。

分析:根据题设中给定的变量取值范围所对应的不等式恒成立,通过等价转化与指数式、对数式的恒等变形,结合函数的单调性合理构造对应的函数解析式,利用函数求导并结合导函数的零点,以及不同区间的包含关系来确定参数的最值。

点评:本题以含参背景下不等式恒成立问题为背景,转化为函数在给定区间下的单调性问题,合理构造相应的函数,并结合函数的导数求解以及导函数的零点的确定等一系列“常规性”的动作来分析与处理,实现函数模型的构建与应用,达到利用导数解决综合应用问题的目的。

3.关注热点

导数与应用中的热点是:导数与函数、方程的关系,导数与三角函数、数列等知识的交汇,特别涉及相关函数的周期、对称性质与导数的综合应用,关键在于分段计算。

例3(2023 届上海市松江区高三上学期期末数学试卷)已知函数f(x)=,若函数y=f(x)-g(x)的图像经过四个象限,则实数k的取值范围为( )。

分析:依题意,将问题转化为函数y=f(x)与y=g(x)在x轴的正负半轴都有两个交点。作出函数y=f(x)的图像,而直线g(x)=kx+1 过定点P(0,1),利用导数的几何意义求出直线y=kx+1 与函数y=x2-4x+2(x≥0)相切时的切线斜率,再求出直线y=kx+1过点(-2,0)的斜率,数形结合即可求出k的取值范围。

解:如图1所示。

图1

过点P(0,1)作y=x2-4x+2(x≥0)的切线,切点设为M(x0,x02-4x0+2)。

由于y′=2x-4,结合导数的几何意义知k=2x0-4。

所以切线的方程为y-(x02-4x0+2)=(2x0-4)(x-x0)。

把点P(0,1)代入上述切线方程,可得1-x02+4x0-2=-x0(2x0-4),解得x0=1或-1(舍去),所以k=-2。

点评:此题以分段函数的图像和零点个数来命题,结合函数的图像与基本性质进行解题,实现参数取值范围的直观分析与判断。从函数的解析式、函数与方程、函数与零点等知识点进行问题的设置,利用导数及其应用来分析与处理,是高考中此类命题设置的熟悉面孔与热点问题之一。

4.突破难点

导数与应用中的难点是:构建函数模型,借助放缩来判断或证明对应的不等式,实现大小关系的判定、不等式的证明等相关综合应用问题,关键在于超越放缩。

分析:根据题设中变量的取值范围,合理构造函数模型,通过求导及其应用确定对应的三角不等式,进而加以合理放缩与巧妙应用,实现对应角大小关系的比较与判断。解题的关键是对常见三角不等式模型的理解记忆,对放缩的要求较高。

点评:本题是以三角函数为背景的角的大小比较问题,利用相关的三角不等式进行放缩和构造函数,结合函数的单调性进行求解。含有一定条件(等式或不等式)的比较大小问题,日渐成为高考数学考试命题的一个热点。而多变量往往是这类问题中处理的一个难点,解决的途径通常首先分离变量,结合表达式的结构特征,合理构造恰当的函数,借助函数的单调性与最值等相关问题来转化与应用。

导数及其应用作为高中数学的核心内容与工具性知识之一,也是高考考查的主要重点之一。同学们在学习过程中,要抓住问题的本质,从导数及其应用自身特点入手,打实基础,夯实基点,突出重点,把握考点,关注热点,突破难点,进而真正有效备考。