利用Hough渐开线变换的齿轮图像中心检测

赵彬彬，洪荣晶，2

（1.南京工业大学机械与动力工程学院，江苏 南京 211816；2.江苏省工业装备数字化制造及控制技术重点实验室，江苏 南京 210009）

1 引言

齿轮测量是保证齿轮精度的重要手段［1］，在齿轮测量中，计算齿轮参数需要齿廓的精确位置，而渐开线齿廓的形状由基圆确定，且计算理论齿廓也需要齿轮基圆参数。因此确定基圆的中心和半径是齿轮测量中的重要环节。确定齿轮中心有多种方法，按获取数据的方式可分为：接触式和非接触式。接触式通过齿轮测量中心［2］、三坐标测量仪［3］、激光测距仪［4］等设备提取齿轮齿廓的位置坐标，用反求方式求中心坐标。非接触式用摄像机等设备提取齿轮齿廓的数字量信息，利用重心法［5-6］，Hough圆变换［7-8］，最小二乘圆拟合［9-11］等方法求中心坐标。上述方法在确定基圆参数的过程中，受齿轮轴孔形状、是否有键槽的影响，存在局限性。

考虑到渐开线齿廓在轮廓中的高占比，能提供大量的坐标数据，以及Hough圆变换在圆形轮廓检测中对噪声和不连续性不敏感的优点。这里提出了一种用于视觉系统的基于Hough渐开线变换的齿轮中心坐标求解方法。

2 渐开线的Hough变换

2.1 图像中的渐开线模型

在图像坐标系中建立渐开线的数学模型f(x，α)=0，式中x=(x，y)为像素的图像坐标，α为确定渐开线形状的参数向量（下文简称为参数向量）。如图1所示，有渐开线齿廓方程：

图1 图像中标准渐开线示意图Fig.1 Standard Involute in Image Coordinates

式中：rb—基圆的半径；ϕ—渐开线在点B处的展开角，对于顺时针展开的渐开线，ϕ按顺时针取值。

图1中的渐开线基圆圆心在图像坐标系原点，初始相位角为0，对（1）式做旋转和平移变换，推广到任意位置，如图2所示。

图2 任意位置渐开线示意图Fig.2 Involute of Random Position in Image Coordinates

2.1.1 像素的梯度

在求解参数向量α时，如果只使用式（2），自由变量的个数较多，计算复杂度高。为了降低自由变量的个数，用像素的梯度增加约束，记每处像素的梯度角ψ=Ψ(x)。

如图2中所示，B'点处梯度的方向为直线C'B'，其梯度角满足下面的公式：

式中：dx和dy—该点处沿X和Y方向的梯度分量。

图2中渐开线A'B'上每点的梯度角ψ与渐开线的初始相位角θ及该点处的展开角ϕ存在等式关系：

展开角ϕ为负时，表示顺时针展开的渐开线。

按照Hough变换的思想，渐开线的Hough变换可以通过以下的形式实现。首先，设定一个累加数列C，C(α)表示满足渐开线形式f(x，α)=0的参数向量α出现的次数，设C(α)的初值为0；其次，对图像中的每个像素点x，联立式（2）和式（4）求出所有解α=(xo，yo，rb，θ，ϕ)，在相应的累加数列C中有：

寻找累加数列C中的局部最大值，作为图像中渐开线的参数。实际应用中，只需要渐开线基圆的坐标和半径，即α的前三个分量。所以取前三个分量来构建累加数列C，降低C的空间维度，便于累加计数和搜索极值。

2.1.2 离散化参数向量

在求解参数向量α的过程中，由于图像采集和边缘提取算法的误差，代入方程的点x和梯度角ψ并不精确。由此得到的参数向量α也不准确，这些不准确的值分布在理想值的附近，给在累加数列C中寻找局部最大值造成影响。为了避免这样的影响，在C进行累加前，通过某种方式用离散后的参数向量值代替原始值。

考虑到图像坐标系是以像素为单位的离散坐标系，选择合适的分度将α离散化。如图3所示，在参数空间oXoYoRb中，设定参数向量α中(xo，yo)的分度为ΔL，rb的分度为ΔR。由ΔL和ΔR定义了一个以α为起点的长方体邻域，当计算值落在该邻域内时，即：

图3 离散化的参数空间Fig.3 Discretized Parameter Space

用α代替αc在累加数列C中进行计数。参加累加计数的点是以参数空间原点为起始点，ΔL、ΔR为分度的等距点。

将判断计算值αc落在哪个点邻域的映射记为g，有：

当αc不在设定的参数空间取值范围内时，返回空值，不代入累加数列C。

此时累加数列C的计算公式改为：

通过离散化近似，使落在邻域内的点都以该邻域的起点参与计数，这样既可以使基圆参数结果控制在ΔL、ΔR的精度内，也可以补偿图像采集和处理过程中引入的误差。

2.2 图像处理流程

对摄像机采集的齿轮图像，采用上述的渐开线Hough变换原理，按照图像处理过程，求得齿轮中心坐标，如图4所示。

图4 图像处理流程Fig.4 Block Diagram of Image Processing

2.2.1 图像滤波

由于图像采集过程中光源、摄像机传感器和其它外界因素的干扰，齿轮图像存在噪声。这里采用中值滤波方法，它在不模糊图像边缘的同时也可以有效的去除噪声［6］。

设P(x，y)为图像中第i行第j的像素点的灰度值，使用（3×3）大小的滤波核，滤波后该像素点的新灰度值P'(x，y)为：

式中：i，j—取区间［-1，1］中的整数；

Med—取该集合内像素点灰度的中值。

2.2.2 图像卷积求梯度角

像素点的梯度角ψ可以通过该点处X和Y方向的梯度分量，用反正切函数求取。这里选用Scharr算子［12］进行卷积，它有较高的精度和较低的敏感性。

选择Scharr算子的卷积核大小为（3×3），点(x，y)处沿X和Y方向的梯度值Gx、Gy及梯度角ψ可由如下公式计算：

式中：SXi，j和SYi，j—沿X和Y方向的算子中的系数，反正切函数arctan根据Gx、Gy的正负及比值返回角度值。

2.2.3 边缘提取

滤波后的齿轮图像经边缘提取后，得到边缘图像。边缘像素坐标将会用于后续Hough变换，这里采用Canny算子。它是一种双阈值的混合边缘算子，具有误差率低、定位性好的优点。

记边缘图像为E，E(x，y)＝1表示该像素点为边缘点。

2.2.4 渐开线Hough变换

用上两节得到的梯度角和边缘图像，将第2.1的原理转化成可行的图像处理操作。

设定ΔL、ΔR的值为一个像素单位，D为参数空间取值范围，[xmin，xmax][ymin，ymax][-ϕmax，ϕmax][rbmin，rbmax]是x、y、ϕ、rb的取值区间，有如下的程序：

上述程序实现了Hough渐开线变换。将[ymin，ymax]按设定的线程数n分段，对每一段（i=1，…，n）做渐开线Hough变换，得到累加数列Ci的结果。当所有线程的运算结束时，对累加数列Ci做矩阵加法，即：

这样的多线程操作可以成倍的缩减渐开线Hough变换过程的时间。遍历累加数列C，寻找其中的局部极大值，并设定一个阈值T（c可以取最大值的85%），记录同时是局部最大值且大于阈值Tc的点对应的参数向量，即：

式中Δαk=(ΔL，ΔL，ΔR)，由于图像中的渐开线齿廓都属于同一个齿轮，满足要求的αk通常只有一个。当有多个αk时，取最大值附近m个分度（m看分度的大小自行决定）范围内满足条件参数向量的平均值作为结果。渐开线Hough变换得到的最终结果，其中包含需要齿轮中心坐标。

3 实验结果与分析

齿轮基圆参数提取的实验装置示意图，如图5所示。有Basler acA2440-35um 型号的CMOS 灰度相机，分辨率为（2448×2048）pixel；相机配备有Moritex ML-M1218HR 型号的定焦镜头，焦距12.01mm，视角范围为（40.52×30.70）°；实验装置底部安放了可调光强的白色LED面光源。相机与电脑由USB3.0接口连接，采集图像传入电脑后，用基于OpenCV的C++程序进行图像处理。

图5 视觉实验装置Fig.5 Computer Vision Experiment Equipment

3.1 齿轮基圆参数实验及对比

分别使用重心法、Hough 圆变换、最小二乘圆拟合与Hough渐开线变换方法提取齿轮基圆参数，比较各自结果验证可行性。

实验中对齿数z=24，模数m=5mm的6级精度圆柱直齿轮采集图像。考虑定焦镜头产生的畸变，选用三阶径向畸变和切向畸变的畸变模型，用（8×8）的棋盘标定板对相机进行标定和畸变矫正，标定后重投影误差为0.14pixel。

相同图片下，各方法求得的齿轮基圆参数，如表1所示。

表1 基圆参数求解结果Tab.1 Test Results of Base Circle Parameter

实验中前三种方法参考文献［5，7，11］中的图像处理流程，以图像左上顶点为原点，用标定所得像素当量将结果单位转为mm。四种方法求出的基圆参数相互收敛，其中由于景深效应的影响，依赖二值化阈值的重心法代入了较多齿轮内圈像素的噪音，基圆坐标和半径的值与其它三种方法的差距较大。

齿轮理论基圆半径为56.382mm，后三种方法与理论值的误差分别为0.178mm、0.093mm和0.037mm，Hough渐开线变换方法的误差最小。由于Hough圆变换在所用视觉库中有底层加速，处理速度最快，除此之外，Hough渐开线变换在多线程的帮助下，时间优于其它两种方法。实验所用图片，如图6（a）所示。齿轮边缘图像，如图6（b）所示。Hough渐开线变换的结果，如图6（c）所示。

图6 实验中的图片Fig.6 Images in Experiments

3.2 仿真测试及分析

为验证Hough渐开线变换法的准确性，使用生成的标准齿轮图像进行仿真实验。

在（1200×900）大小的8位灰度空白图像中，基圆圆心随机选取图像中央区域，以齿数z=17，模数m=36pixe（l以像素作为长度单位）作齿轮图像。设置齿轮区域灰度值为30，其他部分灰度值为255，同时对每个像素点添加均方差为2灰度的高斯噪声模拟随机误差。

运行10次仿真测试，其中前8次为带内孔的的齿轮图像，第9次为带有键槽的齿轮图像，第10次为缺齿的齿轮图像，后两次的齿轮图像，如图7所示。它们最终的结果，如表2、表3所示。

表2 仿真测试结果Tab.2 Results of Simulation Test

表3 各参数的标准差Tab.3 Standard Deviation of Each Parameter

图7 仿真中的图片Fig.7 Image in Simulation

在仿真测试中，设定参数空间的分度ΔL、ΔR都为0.2pixel，每次测试中步骤相同。仿真结果显示，测试值与理论值最大偏差为1.5pixel，基圆中心坐标和半径误差的标准差在1pixel以内。一般Hough圆检测法和重心法的误差在（1～2）pixel内［5］，Hough渐开线变换在通用方法范围内。后两次的仿真结果显示，Hough 渐开线变换对存在键槽和缺齿的齿轮图片同样可以得到圆心，它的适用性比重心法和最小二乘圆拟合法要好，且无需修改图像处理的步骤。综合比较下，Hough渐开线变换在运算时间和误差结果上都明显好于重心法和Hough圆检测法，且在通用性上存在优势，可以达到检测齿轮中心的目的。

4 结论

这里用Hough渐开线变换来提取齿轮图像的基圆参数，阐述了Hough渐开线变换的原理和图像处理流程。由于Hough变换不受齿轮内孔键槽等影响，且对于齿廓边缘的噪声和不连续性不敏感，相比其他方法有更大的通用性，在处理速度上也有优势。在模数为5mm的圆柱直齿轮实验中，Hough渐开线变换法所求基圆半径与理论值的误差为0.037mm，与其他方法的比较结果显示这里的方法具有可行性。仿真测试结果表明，该方法所得结果与理论值误差的标准差在1pixel内，当测量小模数齿轮时可以达到较高精度。按该方法求出的基圆参数，可以后续用于齿轮参数及齿轮偏差的计算。