热连轧系统的周期更换决策

王欣洁,张晓红,曾建潮,2

(1.太原科技大学,太原 030024;2.中北大学 大数据与视觉计算研究所,太原 030051)

热连轧是生产钢材的重要方式。目前有大量关于热连轧系统[1-3]的研究。高精度的数学模型[3-11]对于提升热连轧系统的性能具有重要作用。在热连轧生产系统中,轧辊是生产线上的主要加工部件和消耗部件,轧辊的磨损对带钢的表面质量、生产成本具有很大的影响,同时对生产的连续性和稳定性起决定性的作用;由于轧辊是轧制生产线更换频繁的部件,其生产成本及维修成本较高,轧辊的磨损直接造成生产成本的增加[1]。对轧辊磨损机理和轧辊磨损的主要影响因素及其影响规律进行了深入系统的分析和研究。如果在系统运行过程中某个轧辊发生了故障,比如断辊、粘辊、划坑等,如果仅更换发生故障的轧辊,则系统需要经常停产更换,增加了更换成本和停产损失,因此,此时对所有轧辊进行成批更换。若系统意外停机,会严重影响产品质量,进而造成重大损失。为了避免损失,在系统运行一定周期后安排预防维修而成批更换轧辊。

如何有效优化更换周期,对于提升热连轧系统的性能并有效降低生产成本具有重要的作用。因此,本文对热连轧系统的更换周期进行研究。将包含多个轧辊部件且组成串联结构的热连轧系统抽象为多部件串联系统,按照确定周期执行成批预防更换,给出相关模型,完善相关理论,结合仿真实例给出求解算法,对于多种相关费用情形,给出系统部件数和更换周期的关系,对于实际生产有一定的理论指导意义。

1 系统的分布以及可靠性分析

由于热连轧系统中各个轧辊受系统统一影响,难免会有一定的关联。但各个轧辊各自独立运行,且采用统一批量更换,为了研究方便,本文假设各个轧辊的最初的状态相同,且运行过程中相互独立且服从相同的分布。因此,可以将系统抽象为一个多部件串联系统。

1.1 系统的分布

不妨设系统由n(n>1)个相同部件组成,假设各个部件的使用相互独立。用X表示部件的使用寿命,其分布函数为F(x),密度函数为f(x).用Xi(i=1,2,…,n)表示第i个部件的使用寿命,不妨设X1,X2,…,Xn相互独立,且服从与总体X相同的分布。用Z表示系统的使用寿命,根据串联系统的可靠性,多个部件X1,X2,…,Xn中只要有一个发生故障,系统就失效,因此系统的使用寿命为最小顺序统计量min(X1,X2,…,Xn),即Z=min(设X1,X2,…,Xn).从而系统的使用寿命Z的分布函数:

FZ(z)=P(Z≤z)=

P(min(X1,X2,…,Xn)≤z)=

1-P(min(X1,X2,…,Xn)>z)=

1-P(X1>z,X2>z,…,Xn>z)=

1-P(X1>z)P(X2>z)…P(Xn>z)=

(1)

相应的系统的使用寿命Z的密度函数为:

fZ(z)=n(1-F(z))n-1f(z).

(2)

1.2 系统的可靠性分析

注意到分布函数F(x)表示系统发生故障的概率,因此,1-F(x)表示系统的可靠性。下面根据式(1)从理论上说明多个相互独立部件构成的串联系统的可靠性与单部件系统的可靠性之间的关系。

引理1设n为大于1的整数。若x∈(0,1),则有1-(1-x)n>x

证明令g(x)=1-(1-x)n-x,x∈(0,1),

注意到随机变量X的分布函数F(x)的值域为[0,1],即0≤F(x)≤1,且当F(x)=0时,FZ(x)=0;当F(x)=1时,FZ(x)=1.结合引理1以及FZ(x)=(1-F(x))n(见式(1)),可得如下的定理:

定理1设n为大于1的整数,则对任意实数x,都有FZ(x)≥F(x),且当0F(x).

定理1说明,独立同分布的多部件构成的串联系统比单个部件更容易失效。下面通过分析FZ与F的差来说明相对于单个部件,独立同分布的多部件构成的系统更容易失效的程度。

图1分别给出了n=2,5,10,50时,FZ与F的关系,FZ-F与F的关系,横轴为F的取值。从图1可以看到独立同分布的多部件构成的系统更容易失效的程度。通过上面的分析说明:在串联系统中,n越大,系统越容易失效。所以工业生产中为了提高系统的可靠性,要从系统设计方面考虑优化降低系统中部件的个数n.

图1 n=2,5,10,50时,FZ,FZ-F与F的关系

2 更换周期模型与求解

2.1 更换周期模型

为了提高生产效率和产品质量、有效降低停机损失,系统运行一定的周期后,对其关键部件(利用冷贮备的同类型部件)进行预防性成批更换,并在系统运行的同时对更换下来的缺陷件进行离线维修后再使用。假设维修后部件的性能修复如新,不考虑部件的可维修次数的限制。

用tp表示更换周期。如果系统正常运行到预定的更换周期tp,对所有关键部件进行成批更换。用Cp表示单个部件一次预防性更换的费用,g1(n,Cp)为n个部件一次预防性更换的费用函数。如果系统没有正常运行到预定的更换周期tp时某个关键部件发生故障,则也对所有关键部件进行成批更换。Cc为单个部件一次故障后更换的费用,g2(n,Cc)为一次故障后n个部件更换的费用函数。

根据经典的单部件基于役龄的换件模型[11]和系统采用的维修策略,系统的单位时间总期望费用为:

(3)

选取tp使式(3)中的目标函数取得最小值。式(3)中FZ(tp)(见式(1))为在预防性维修规定的更换周期tp内系统发生失效的概率,RZ(tp)为在预防性维修规定的更换周期tp内系统不发生失效的概率,显然RZ(tp)=1-FZ(tp),MZ(tp)为在预防性维修规定的更换周期tp内系统失效的平均时间,可以用系统失效分布在tp处截尾的期望值来估计[11],即

(4)

g1(n,Cp),g2(n,Cc)可根据具体的问题给出,比如:

g1(n,Cp)=

Cp+(n-1)Ca,g2(n,Cc)=Cc+(n-1)Ca,

(5)

其中Ca为在一个部件的基础上多更换一个部件的费用。作为特例,当n=1时,FZ(x)=F(x),fZ(x)=f(x),g1=Cp,g2=Cc,上述模型退化为文献[11]中的经典模型。

2.2 预防性更换周期的解析表达式

下面将给出最优的预防性更换周期tp的表达,分析tp的取值和部件数n以及相关费用的关系。由于g1(n,Cp),g2(n,Cc)均与tp无关,所以简化符号,记g1=g1(n,CP),g2=g2(n,Cc).根据定积分的分部积分有,

上式结合式(3)、式(4),可得:

对TECZ(tp)关于tp求导,可得:

(g1+(g2-g1)FZ(tp))(1-FZ(tp))=0

3 数值实验

采用寿命常用的分布——Weibull分布进行仿真实验,即X的密度函数为:

其中k>0是形状参数,λ>0是比例参数。实验中取k=2,λ=50.

对于n>1的情形,

实验中,式(5)参数(单位:万元)的取值分别为:一个部件预防性更换的单位费用Cp=40,系统故障后更换的单位费用Cc=500,在更换一个部件的基础上多更换一个部件的单位费用Ca=10.

对于该问题,由于FZ(z)和fZ(z)的函数表达式中均含有指数函数,无法得到tp的最优解的解析表达式。同时,对于实际的工程问题并不关心tp的具体精确值,选择更换周期为最小时间单位的整数倍即可。因此,tp的取值只考虑自然数,直接从目标函数入手,通过式(3)可直接比较得到问题的最优解。由于分布函数的取值上限是正无穷,在考虑离散的正整数后,进一步对其取值进行截断,通过实验比较,最终设定tp上限为50.图2分别给出了部件数量n=1,2,10,50时,不同的tp取值对应的系统的单位时间总期望费用TECZ(tp).图2中横坐标表示tp的取值,纵坐标表示系统的单位时间总期望费用TECZ(tp).比较可得最优的预防性更换周期tp(单位:h)分别为15,12,9,8.

图2 n=1,2,10,50时,不同的tp取值对应的系统的单位时间总期望费用

由于部件数量影响系统的可靠性,成批更换费用也影响系统单位时间总期望费,所以需要考虑Ca的取值对最优预防性更换周期tp的影响,图3分别给出了Ca=0,10,20,40情形下,不同的n对应的最优tp,其中横坐标表示n的取值,纵坐标表示最优的tp.

图3 Ca=0,10,20,40情形下,不同的部件数n对应的最优tp

通过实验可以发现,当n较大时,很多不同的tp取值对应的系统的单位时间总期望费用和最优值相同,或者相差很少。考虑到计算误差和具体的应用,为了能有效反应最优的tp随着n增大时的变化规律,同时,为了能相对有效的降低成批更换费用,将目标函数值与得到的最优目标函数值的相对误差不超过10-5的较大的维修周期作为最优的tp.

Ca=0的情形指的是多更换一个部件的费用相对于一次的更换费用可以忽略不计的情形。通过图3可以看出,随着n的增大,预防性更换周期tp的最优值逐渐减少,最终变为2,说明了随着n的增大,系统的可靠性变差,系统需要频繁的成批替换。

Ca=10,20的情形,通过图3可以看出,随着n的增大,预防性更换周期tp的最优值先减少后增加,最终变成最大设定值50.通过系统的故障概率可以看到:当n较大时,系统接近概率1出现故障,所以选择该值作为预防性更换周期,实际上就是等系统发生了故障才进行更换,此时属于故障后更换。最初tp的最优值减少的原因是随着n的增大系统的不稳定性增大;后来tp的最优值增大的原因是随着n的增大,按式(5)计算得到预防性更换费用g1=g1(n,Cp)和故障后更换费用g2=g2(n,CC)的值逐渐接近相同,所以tp的最优值随着n的增大而增大。当n较大时,g1=g1(n,Cp)和g2=g2(n,CC)的值接近相同时,维修策略即为等系统发生故障之后直接进行故障后更换,无需预防性更换。

Ca=40的情形,通过图3可以看出,随着n的增大,预防性维修周期tp的最优值逐渐增加,最终变成最大设定值50.原因也是随着n的增大,g1=g1(n,Cp)和g2=g2(n,CC)二者的值逐渐接近相同。这里tp=50,则表示不需考虑预防性更换,直接等系统故障后更换即可。

4 结论

对热连轧系统的成批更换周期进行研究,给出相关数学模型与理论。从理论上分析了系统的可靠性与部件数量之间的关系,建立了更换周期模型,通过数值实验展示了模型的离散求解过程,展示了在不同的相关费用的情形下,系统中部件数量对系统的预防性维修更换周期的影响,分析了各种情况产生的原因。