柔性基座上隔振系统的能量分析

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(中船重工第七○一研究所，武汉 430064)

关于振动隔离的研究主要是基于将多个隔振器叠加等效为一个隔振器的数学模型，激励力也只考虑垂向作用，基座则被处理成刚性。但这些简化均太粗糙，与船舶的实际情况有较大差别，因而有必要对模型进行更为精细的动力学分析。

船用设备安装的一个重要特点是其基座是柔性的。如果将设备安装基座处理成刚性，则会与实际相悖，因为刚性基座不会产生变形，没有能量向下传递，也就不存在由于机械激励而产生船体结构的振动。因此对船体基座建立适合的数学模型非常关键，实际船舶上的基座面板多为矩形，因此本文采用板结构来模拟。

由于设备重心和几何中心不重合，激励力矩不平衡，机械振源的激励力在有垂向力Fz作用的同时，往往还有横向力Fx，Fy和力矩Mx，My，Mz的共同作用。除了Mz外，其他3种力和2种力矩都有轴向和回转振动能量往下传播，这些复杂的激励力源使得隔振器的受力和变形不尽相同。此外隔振器在复杂激励下的动力学响应还与其在基座面板上的安装位置有关，具体表现各不相同，因此对每个隔振器都需要独立建模，而不应简单地将所有隔振器等效为一个处理。

1 建立模型

船舶典型动力隔振设备示意见图1[1-3]。

图1 船舶典型动力设备隔振系统的模型示意

图中刚体表示被隔振的动力设备，设作用在刚体上的外激励用一个力向量F0=(F0x,F0y,F0z)·eiωt和一个力矩向量M0=(M0x,M0y,M0z)×eiωt表示。通过几何坐标转换外激励可以表示为一个作用在刚体质心的激励Q0=[F0x,F0y,F0z,M0x,M0y,M0z]T·eiωt，为了方便起见，以后的讨论中省略写出时间项eiωt。刚体通过N个隔振器连接到表示船体基座的简支板上，设第J个隔振器的顶端与刚体的连接点的坐标为r0J=(x0J,y0J,z0J);第J个隔振器的底端与简支板上表面的连接点的坐标为σJ=(xJ,yJ)。

1.1 振源设备数学模型

由于机械振源的激励力中的M0z不向下传递能量，因此仅考虑三向谐振力F0x、F0y、F0z，和二向谐振力矩M0x、M0y的共同作用。设谐振频率为ω(以下省略时间项eiωt)。 由于机械设备所受到的任何位置的外激励力都可利用几何关系转换成作用在其质心的激励力，为了讨论方便，假设机械振源激励仅为作用在其质心的Q0，且有：

Q0=[F0x,F0y,F0z,M0x,M0y]T

(1)

同样仅考虑刚体5个自由度上的位移，则刚体的运动可用其质心的位移向量Sc=(uc,vc,wc)和绕X0，Y0轴的转角θcx，θcy表示。 即刚体的运动可以表示为：

dc=[uc,vc,wc,θcx,θcy]T

(2)

相应的刚体的质量矩阵Mc为：

(3)

式中：mc——刚体的总质量；

Ixx、Iyy、Ixy、Iyx——转动惯量，Ixy=Iyx。

如果将机械设备简化为矩形刚体，且当其坐标系0X0Y0Z0建立在其质心时，则仅有Ixx、Iyy不为零，其计算公式如下：

(4)

式中：bx、by、bz——刚体的长度、宽度及厚度。

图2 隔振器上下端的位移示意

(5)

(6)

则刚体的运动方程可表示为：

(7)

即有：

(8)

1.2 支座数学模型

船体基座可以简化为矩形薄板，边界条件根据基础面板与腹板、肘板的厚度关系可以等效为简支或者刚固。为了建模方便，这里讨论最具代表性的简支情况。

从图1中可以看到，弹性基础所受到的激励为N个隔振器下端对它的共同作用， 设第J个隔振器安装在弹性基础的σJ(xJ,xJ) 处，利用δ函数，薄板的弯曲变形量W(σ,ω)满足如下的微分方程[4-5]：

(10)

式中：ρ——薄板的面密度；

h——基座板材的厚度；

D——薄板的复抗弯曲刚度；

E——基座材料的杨氏弹性模量；

μ——泊松比；

η——材料的阻尼损耗因子。

应用模态分析法，薄板弯曲变形量W(σ,ω)可表示为各阶模态SI(σ)和其模态主坐标wI乘积的叠加，而振动能量主要集中在前几阶模态，这样只考虑前p阶模态，对其后的模态进行截断不会带来很大的误差。于是W(σ,ω)又可表示为：

[S1(σ),S2(σ)…,Sp(σ)]T·

[w1,w2,…,wp]=

[Spσ]T·Wp

(11)

式中：SI(σ)——薄板的第I阶模态振型函数。

对于简支板有：

(12)

式中：Lx,Ly——薄板的长度与宽度；

m,n——薄板第I阶模态对应的横纵方向的半波数。

将式(11)代入到式(10)中，可得：

(13)

(14)

式中：MI——船体基座的第I阶模态质量；

ωI——第I阶模态圆频率。

(15)

式中：SI(σJ)——薄板的第I阶模态振型函数；

SIx(σJ),SIy(σJ)——对x,y的偏导数在点σJ(xJ,yJ)的值。

(17)

(18)

由式(13)可得船体基座振动阻抗表达式：

(19)

式中：Zp——矩形薄板的非耦合特征值矩阵，

(20)

1.3 隔振器数学模型

隔振器计算模型采用离散弹簧模型，其原理是根据胡克定律得出隔振器受力的大小与位移变形和隔振器的弹性成正比，且隔振器上下端的作用力相同[1-2]。

2 振动功率流法模型求解

振动功率流不仅考虑了传播到结构上的“力”和“速度”的数值大小，而且考虑了二者的相位信息。功率流方法考虑到了传到结构的阻抗特性，功率作为一个单一的量值，可以给出振动传输的一种绝对度量，使结果的叠加和比较显得简单直观。

前面的分析表明，在外激励Q0的作用下，有能量流输入到隔振系统，从输入端沿各个隔振器向下传递，最后输出到船体基座上，在传递过程中，能量损耗的绝大部分发生在每个隔振器中。由于安装弹性阻尼就是通过隔振器的能量消耗而实现振动能量衰减来起到隔振作用的，因此对隔振器上下端振动功率流的计算就特别有意义。

通过隔振器上下端的力联系刚体质量和弹性基座的运动方程可以构成整个系统的运动方程。求解系统运动方程，然后按照如上振动功率流的定义便可得到各个隔振器上下端的振动功率流。

3 结果分析

解出刚体响应Dc与弹性基础响应Wp，进而可求出振动隔振系统中各个隔振器上下端的振动功率流。

采用的计算模型为最常见的4个隔振器的隔振模型见图1，主要参数见表1。

表1 柔性隔振系统的系统参数

由于在中低频段机械设备可以处理成刚体，因此在模型中被隔离的振源设备简化为等效矩形刚体质量块，其下方布置4个隔振器，船舶基础则处理成柔性基础，简化为4边简支矩形薄板，隔振器简化为相互独立的离散单元，分别在矩形刚体的质心建立右手局部坐标系X0Y0Z0，在矩形薄板的左下角建立右手局部坐标系XYZ。

隔振器居中对成布置，X向间距600 mm，Y向间距240 mm。

图3为外激励Q0=[1 1 1 1 0]T时，4个隔振器上下端的振动功率流曲线。此时的外激励有力和力矩的共同作用，但是以力作用为主。

4 结论

1) 隔振器的能量消耗使得隔振系统能够实现能量的衰减，从而实现减振，表现为隔振器下端的振动功率流通常小于隔振器上端。

2) 隔振器上端的振动功率流曲线较平滑，而下端的振动功率流曲线上存在有多个波峰波谷。其中最先出现的峰值是整个隔振系统的耦合共振峰，隔振器下端振动功率流曲线上后出现的峰值则是柔性基础的激发模态，即柔性基础的波动效应，其模态频率与基础自身的尺寸和物理特性有关。

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