有关多边形边数问题的思考方法

2008-06-14 01:59耿京娟
关键词:外角钝角锐角

耿京娟

我们现在学多边形,主要是了解多边形的边数、内角、外角及它们的相互关系.解答这类问题用到的主要知识点是多边形的内角和公式与外角和为360°.解题方法主要是利用公式列方程.

一、多边形的内角和与边数的关系

例1如果一个多边形的边数增加1倍,新多边形的内角和是2 160°,求原来多边形的边数.

分析:本题考查多边形的内角和定理,解题的关键是边数的变化.根据多边形内角和定理及已知条件列出方程.设原来多边形的边数为n,那么边数增加1倍后的多边形边数为2n,内角和为(2n-2)×180°.

解: 设原来多边形的边数为n,由题意,得

(2n-2)×180°=2 160°.

解得n=7.故原多边形的边数是7.

例2若一个多边形的每一个内角都是钝角,则这样的多边形的边数最少是几?

分析:多边形的内角与和它相邻的一个外角为邻补角.由题设知,多边形的每一个内角都是钝角,所以其每一个外角都是锐角.多边形的外角和恒等于360°,4个锐角的和小于360°,至少5个锐角的和才可能等于360°.

解: 略.

二、多边形的外角与边数的关系

例3如果一个多边形的每一个外角都等于36°,求这个多边形的边数.

分析:若设多边形的边数为n,则这个多边形有n个外角,由题设知每个外角都等于36°,而多边形的外角和是360°,从而易求得多边形的边数.

解: 设多边形的边数为n,由题意,得方程

36°×n=360°.

解得n=10.故这个多边形的边数是10.

三、多边形的外角和、内角和与边数的关系

例4已知一个多边形的外角和等于内角和的,求这个多边形的边数.

分析:根据多边形的内角和(与边数n有关)与外角和(恒等于360°,与边数无关)的一种关系,利用已知条件列出关于n的一元一次方程,解方程可求得边数n.

解: 设多边形的边数为n,则这个多边形的内角和是(n-2)×180°.又已知多边形的外角和是360°,故(n-2)×180°=360°.解得n=8.所以这个多边形的边数是8.

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