填空题的非常规化的求解策略

代卫东　张守武

填空题是高考重点考查的题型，具有小巧灵活，跨度大，覆盖面广，概念性强，运算量不大，不需要写出求解过程而只需直接求出结论等特点.怎样才能做到“正确、合理、迅速”地解答填空题？下面以一些典型的高考题为例，介绍解填空题的几种常用的策略，从中体会到解题的要领与技巧.

1 探源化策略

每一个数学问题的设置都要考查一些专门的知识点.面对问题，当通性通法比较困惑时，要敢于立足问题源头，追根求源，剖析实质，弄清来龙去脉，获得解决问题的坦途.

1.(2004年北京）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________

解析 在平面B1C1CB内，点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，这样的轨迹无法直接探求.若想到圆锥曲线的统一定义：“在平面内，到定点和到定直线距离之比是一个常数e的轨迹是圆锥曲线.”

自然想到将到两直线的距离转化为到定点和定直线的距离即可.而C1D1⊥平面B1C1CB，所以点P到C1D1的距离也就是点P到C1的距离，从而将P到直线BC与直线C1D1的距离相等转化为P到点C1的距离与到直线BC的距离相等，所以动点P的轨迹所在的曲线是抛物线.

2.(x+1x+2)5的展开式的常数项是.

解析 本题作为变式二项式问题，运用二项展开式的通项公式能够得出答案，但比较繁琐且易出错，若思考二项式定理的本质，其系数的构成是由组合原理决定的，这样问题的解决便显得自然且得心应手.

C55·25+C25C23x²(1x）2·2+C15C14x·1x·23=252

所以所求展开式的常数项是252.

注：根据基本知识的特点，寻根求源.

2 替代化策略

运用数学化归思想，依据条件特征、特殊数字、特定结论等，通过等效替代，化陌生为熟悉、化繁杂为简捷、化难为易、化非常为平常，使问题的解决自然、有理.

3.sin163°sin223°+sin253°sin313°=_____

解 sin163°sin223°+sin253°sin313°

=-sin17°sin43°+sin73°sin133°

=-sin17°cos47°+cos17°sin47°

=sin30°=12.

注；抓住公式特征，进行式子和角的变形.

4、已知x、y∈R+，x+2y=1，则1x+1y的最小值是_______.

解 1x+1y=1·(1x+1y）=(x+2y)·(1x+1y)=(3+xy+2yx）≥3+22

当且仅当xy=2yx即x=22+2,y=12+2时，取“=”，故所求1x+1y的最小值是3+22.

注：抓住数字“1”进行巧妙替换.

3 嵌入化策略

运用数学模型的方法，将问题嵌入到一个模型当中，以模型为背景，借助模型的固有属性，化抽象为具体、化一般为特殊、化数为形，使问题快速得到解决，这里的模型泛指几何图形、几何体、代数数式等.

5.三棱锥P-ABC中，棱PA、PB、PC两两互相垂直，若O为△ABC内的一点，且∠APO=45°，∠BPO=60°，则cos∠CPO=________.

解析 易证得长方体的对角线与每条棱夹角关系为：cos2α+cos2β+cos2γ=1，由于棱PA、PB、PC两两互相垂直，所以以PA、PB、PC为棱，以PO所在直线为对角线作一个长方体，将问题嵌入到长方体中，运用上述结论易求得cos∠CPO=12

注:紧扣题目条件,构造熟悉的图形.

4 结论化策略

除常见的公式、定理、性质外，解题中已经证明了的一些问题能够作为结论加以应用.解决新的问题时，联想类比，触类旁通，运用和发挥一些小结论的作用，使问题的解决柳暗花明.

6.已知O点在△ABC的内部，且OA+2OB+3OC=0，则△AOB与△AOC的面积之比为__________.

解析 如图：延长OB至E，使OE=2OB，延长OC至F，使OF=3OC，则OA+OE+OF=0由三角形及向量性质知O是△AEF的重心，

所以S△AOC=13S△AOF=19S△AEF

S△AOB=12S△AOE=16S△AEF

故所求面积之比为23.

注:记住相关结论,往往收到事半功倍的效果.

5 破域化策略

数学问题奇妙无比，知识体系既相互独立又相互联系.问题解决时要灵活机动，不要思维呆滞，要敢于打破知识体系，走出常规，实现思维跨越与创新.

7.已知x1是方程lgx=3-x的根，x2是方程10瑇=3-x的根，则x1+x2=________.

解析 题目本身是要求方程的根，而方程又解不了.所以转化为两图像的交点的问题.而y=lgx与y=10瑇的图像关于直线y=x对称，且y=x与y=3-x互相垂直可知：x1+x2=3.

注：将数的问题转化为形的问题，从而将问题简化.

6 特殊化策略

特殊化策略就是取满足条件的特例(包括取特殊值、特殊点、以特殊图形代替一般图形、以特殊数列代替一般数列等）从而得出结论的方法.

8.函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-π8对称，则a=_______.

解 由图像关于直线x=-π8对称，所以f(0)=f(-π4)，所以a=-1.

注：抓住图像的对称特征，巧妙进行赋值

9.过抛物线y=ax²(a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段FP与FQ的长分别是ｐ、ｑ，则1p+1q=_________.

解析 由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，1p+1q的值都是a的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝12a，所以1p+1q=4a.

注：针对图形的特点，取其特殊位置进行计算,往往收到意想不到的效果.

总之，在高考数学试题中，填空题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向.因而要做好填空题，一定要根据不同的题目特点，一定要选准思维策略，要不择手段的巧做，同时确保迅速准确无误.

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