等腰三角形的证法

2008-09-27 09:18
关键词:辅助线平分线垂线

李 艳

三角形的知识是初中数学的重点,而等腰三角形的知识更是重中之重.判定一个三角形是等腰三角形,有两种基本方法:一是证明两角相等,二是证明两边相等.

一、根据等角对等边来解决问题

例1如图1,AO平分∠BAC,∠1=∠2,试说明△ABC是等腰三角形.

思路分析:如图2,由题设可知,∠1=∠2,∠3=∠4.仅有角相等,无论是证AB=AC还是证∠ABC=∠ACB都不够,因此想到作辅助线.由于AO为∠BAC的平分线,根据角平分线的性质,过点O向角的两边作垂线OE、OF,这样得到一对直角和一组边相等:OE=OF.

因为∠1=∠2,所以OB=OC.

所以Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).

所以∠5=∠6.

所以∠1+∠5=∠2+∠6,即 ∠ABC=∠ACB.

所以AB=AC.△ABC为等腰三角形.

点拨:题中有角平分线时,常自角平分线上一点作角两边的垂线.

二、两边相等

证两边相等,可以考虑下面四种方法.

1. 通过三角形全等证线段相等

例2如图3所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,E是AD延长线上的一点,连接BE、CE.试说明△EBC为等腰三角形.

思路分析:根据已知条件AB=AC,AD⊥BC,易知BD=CD.由于AD⊥BC,DE为公共边,可得△BDE≌△CDE(SAS).所以BE=CE.△EBC为等腰三角形.

2. 利用线段垂直平分线的性质证线段相等

如上面的例2,可以发现AE是线段BC的垂直平分线,由于线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,所以BE=CE.这样就省略去了证△BDE≌△CDE的步骤.

3. 利用线段的和与差证线段相等

例3如图4所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CF,AD⊥BC于D.试问:线段AE与AF相等吗?

思路分析:由于AB=AC,AD⊥BC,由等腰三角形的性质,易知有BD=CD.结合BE=CF知ED=FD,故AD是线段EF的垂直平分线,于是AE=AF.

4. 利用面积法证线段相等

例4在△ABC中,AB=AC,P为BC的中点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.试说明PE=PF.

思路分析:连接AP,如图5,根据题意知AP⊥BC,BP=CP.所以△ABP和△ACP的面积相等.而△ABP和△ACP的面积还可以分别通过把AB、AC当作底,PE、PF当作高来表示,即1/2AB·PE=1/2AC·PF.而AB=AC,易得PE=PF.

点拨:要证两线段相等,常用三角形全等来证.如果已知条件中有等腰三角形存在,那么等腰三角形三线合一的性质经常会用到.审题时一定要注意中点、垂直等条件.有时候已知条件不够,要适当添加辅助线,常作的辅助线是高(垂线)、平行线等.

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