例析有理数运算新试题

唐耀庭

围绕有理数的内容,近几年各地的中考试卷中,出现了一批新颖的考题,下面采撷部分试题浅析,希望能对大家有所启发.

一､社会热点型试题

例1 小王上周五在股市以收盘价(收市时的价格)每股25元买进某公司股票1 000股.在接下来的一周交易内,小王记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况如表1(单位:元).

表1

星期一二 三四 五

每股涨跌 +2 -0.5+1.5 -1.8 +0.8

根据上表回答问题:

(1)星期二收盘时,该股票每股多少元?

(2)本周内该股票收盘时的最高价和最低价分别是多少?

(3)已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的5‰的交易费.若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出,他的收益情况如何?

解析:(1)星期二收盘价时,该股票每股为25+2-0.5=26.5(元).

(2)星期一收盘价为25 + 2 = 27 (元);

星期二收盘价为25 + 2 - 0.5 = 26.5 (元) ;

星期三收盘价为25 + 2 - 0.5 + 1.5 = 28 (元);

星期四收盘价为25 + 2 - 0.5 + 1.5 - 1.8 = 26.2 (元);

星期五收盘价为25 + 2 - 0.5 + 1.5 - 1.8 + 0.8 = 27 (元).

一周内该股票收盘时的最高价为28元 / 股;收盘最低价为26.2元 / 股.

(3)股票卖出后的收益等于卖出股票的价格减去买入股票的价格减去买入股票与卖出股票分别支付成交金额的5‰的交易费.故小王的收益为:27 × 1 000(1 - 5‰)-25 × 1 000(1 + 5‰) = 27 000 - 135 - 25 000 - 125 = 1 740(元).

本题以社会热点为背景,目的是促使大家在平时的学习中,多关注社会的重大事件,同时还要关注学科间的渗透,体现了数学的实用性和教育性.

二､规律探究型试题

例2 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.

现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形如图1所示.

图1

再分别依次从左到右取2个､3个､4个､5个正方形拼成图2所示的矩形并记为①､②､③､④.相应矩形的周长如表2所示.

① ②③④

图2

表2

序号 ① ② ③ ④

周长 610 16 26

若按此规律继续作矩形,则序号为⑩的矩形周长是.

解析:正确理解斐波那契数列的意义是解决本题的关键.仔细观察图表､图形可以发现①､②､③､④矩形的周长也是斐波那契数列,故可猜想第⑤个矩形的周长为26+16=42,依次类推可知第⑩个矩形的周长为466.

试题提供了具体事例.要求发现数的排列结构顺序的特征和规律,它既能充分考查基础知识的掌握程度,又能较好地考查观察､分析､比较､概括的能力,发散思维的能力.

三､探索型试题

例3 在五环图案内,分别填写五个数a､b､c､d､e,如图3,其中a､b､c是三个连续偶数(a < b < c),d､e是两个连续奇数(d < e),且满足a + b + c = d + e,例如图4.请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入图5.

图3 图4 图5

本题巧妙地以在五环图案内填数的游戏为载体,将数的运算融合于其中,激发同学们探究数学问题的欲望,为枯燥无味的运算找到了可以借鉴的问题背景.由条件开放性决定了算式的多样性,所以结果也是不唯一的.但同学们通过算式a+b+c=d+e可以得到如下猜想:左边是3个连续偶数的和,结果必为偶数,右边是两个连续奇数的和,因此等式左边的结果的一半必为偶数,才能拆成2个连续奇数的和(思考这是为什么).

解:因为a､b､c是三个连续偶数(a < b),所以不妨设a = 2n - 2,b = 2n,c = 2n + 2,又d､e是两个连续奇数(d < e),所以不妨d = 2m - 1,e = 2m + 1.因为a + b + c = d + e,所以2n - 2 + 2n + 2n + 2 = 2m - 1 + 2m + 1,即3n = 2m.由于m､n在0到20之间,所以答案不唯一.如:当n = 4,m = 6时,a = 6,b = 8,c = 10,d = 11,e = 13,或a = 10,b = 12,c = 14,d = 17,e = 19.结果如图6.

图6

例4 如图7,时钟的钟面上标有:1,2,3,…,12共12个数,一条直线把钟面分成了两部分.请你再用一条直线分割钟面,使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等,则其中的两个部分所包含的几个数分别是和.

解析:钟面上标着1到12这12个连续整数,它们的和为78.由钟面分成三个不同的部分且各部分所包含的数的和都相等,得每部分的和必须是=26.而其中已有部分的数的和为11+12+1+2=26,所以只需另外一条直线分成两部分的和分别为26,于是可再作直线l,如图8,分成的各部分分别为1､2､11､12,3､4､9､10,5､6､7､8.

把简单的数学内容放在丰富的生活情境中,体现了数学与生活的联系,反映了数学的价值,增强了学生用数学的意识,拓宽了学生的视野,有利于塑造学生的思维能力和思维品质.

四､数形结合型试题

例5 2008年8月,第29届奥运会将在北京开幕,5个城市的标准时间(单位:时)在数轴上表示如图9,那么北京时间2008年8月8日20时应是().

A. 伦敦时间2008年8月8日11时

B. 巴黎时间2008年8月8日13时

C. 纽约时间2008年8月8日5时

D. 首尔时间2008年8月8日19时

解析:观察数轴可知,巴黎､伦敦､纽约所在时区分别比北京早7 h､8 h和13 h,而首尔所在时区比北京晚1 h.所以北京时间2008年8月8日20时分别相当于巴黎时间2008年8月8日13时,伦敦时间2008年8月8日12时,纽约时间2008年8月8日7时,首尔时间2008年8月8日21时.故选B.

中考试题考查“双基”,不会只考查积累,还着眼于考查对“双基”的理解.数轴基础性试题解题关键是找出隐含在数轴上的解题信息.

五､方案设计型试题

例6 甲､乙两同学做“投球进筐”游戏.商定:每人玩5局,每局在指定线外将一个皮球投往筐中,一次未进可再投第二次,以此类推,但最多只能投6次,当投进后,该局结束,并记下投球次数;当6次都未投进时,该局也结束,并记为“×”.两人五局投球情况如表3.

表3

(1)为计算得分,双方约定:记“×”的该局得0分.其他局得分的计算方法要满足两个条件:①投球次数越多,得分越低;②得分为正数.请你按约定的要求,用公式､表格､语言叙述等方式,选取其中一种写出一个将其他局的投球次数n换算成得分M的具体方案.

(2)请根据上述约定和你写出的方案,计算甲､乙两人的每局得分,填入牌上的表格中,并从平均分的角度来判断谁投得更好.

解法1:(1)其他局投球次数n换算成该局得分M的公式为M=7-n.

(2)如表4.

表4

甲 = =(分);

乙== (分).

故以此方案来判断:乙投得更好.

解法2:(1)其他局投球次数n换算成该局得分M的公式为M= .

(2)如表5.

表5

甲 == (分);

乙== (分).

故以此方案来判断:甲投得更好.

解法3:(1)其他局投球次数n换算成该局得分M的方案如表6.

表6

n(投球次数)12 3456

M(该局得分) 65 432 1

(2)如表7.

表7

甲 == (分);

乙== (分).

故以此方案来判断:乙投得更好.

本题以学生经历的事件为背景,体现了数学对生活的指导意义,同时也在提醒我们会用数学的眼光看世界.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文