函数中的三个“二次”及关系

2008-11-04 02:53
中学生数理化·教与学 2008年7期
关键词:二次方程表示法实根

杨 爽

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系.

一、例题分析

例1 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R).求证:两函数的图象交于不同的两点A、B.

证明:由y=ax2+bx+c,y=-bx,消去y得ax2+2bx+c=0.

Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ )2+ c2].

∵a+b+c=0,a>b>c, ∴ a>0,c<0.

∴ c2>0. ∴ Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.

二、分析总结

1.二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n.

(2)当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q).若-

2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件

(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小?圳a•f(r)<0.

(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r ?圳Δ=b2-4ac>0,- >r,a•f(r)>0.

(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根?圳Δ=b2-4ac>0,p<- 0,a•f(p)>0.

(4)二次方程f(x)=0的两根在区间(p,q)内只有一个?圳f(p)•f(q)≤0.

(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p

3.二次不等式转化策略

(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是:(-∞,α]∪[β,+∞)?圳a<0且f(α)=f(β)=0.

(2)当a>0时,f(α)

|β+ |.

(3)当a>0时,二次不等式f(x)>0在[p,q]恒成立或?圳- 0或p≤- 0或- ≥p,f(q)≥0.

(4)f(x)>0恒成立?圳a>0,Δ<0或a=b=0,c>0.f(x)<0恒成立?圳a<0,Δ<0或a=b=0,c<0.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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