一道２００７年乌克兰竞赛题猜想的证明

王明建　杨国增　付宏彬

文［1］给出了一道2007年乌克兰的竞赛题：

设a,b,c>0,且abc≥1，求证

(玦)(a+1a+1)(b+1b+1)(c+1c+1)≥278;

(玦i)27(a3+a2+a+1)(b3+b3+b+1)•(c3+c2+c+1)≥64(a2+a+1)(b2+b+1)•(c2+c+1).

由于［1］的证明比较复杂，故文［2］给出了一个巧妙的证法，并提出一个猜想：

设a,b,c>0，且abc≥1，求证：

n3(a琻+a﹏-1+…+a+1)(b琻+b﹏-1+…+b+1)(c琻+c﹏-1+…+c+1)≥(n+1)3•(a﹏-1+a﹏-2+…+a+1)(b﹏-1+b﹏-2+…+b+1+1)(c﹏-1+c﹏-2+…+c+1)(1)

这里给出其证明如下

证明：当a>0时，欲证(1)成立，须证a琻+a﹏-1+…+a+1a﹏-1+…+a+1≥n+12n(a+1)(2)

即须证(a-1)2［(n-1)a﹏-2+2(n-2)•a﹏-3+…+2(n-2)a+(n-1)］≥0,设f(n)=(n-1)a﹏-2+2(n-2)a﹏-3+3(n-3)a﹏-4+…+2(n-2)a+(n-1)(3)

只要能证明当n≥2时，f(n)>0即可：

下面我们用数学归纳法来证之.

证明 ①显然当n=2时，有1>0，即ゝ(2)>0;当n=3时，有2(a+1)>0,即f(3)>0.

②假设当n=k时，有f(k)=(k-1)a﹌-2+2(k-2)a﹌-3+…+2(k-2)a+(k-1)>0，则f(k+1)-f(k)=ka﹌-1+(k-1)a﹌-2+…+2a+1>0,故有f(k+1)>f(k)>0.

由①、②知，对一切n≥2的自然数，都有ゝ(n)>0成立.

同理可证b琻+b﹏-1+…+b+1b﹏-1+…+b+1≥n+12n(b+1)；c琻+c﹏-1+…+c+1c﹏-1+…+c+1≥n+12n(c+1).

三式相乘得a琻+a﹏-1+…+a+1a﹏-1+…+a+1•b琻+b﹏-1+…+b+1b﹏-1+…+b+1•c琻+c﹏-1+…+c+1c﹏-1+…+c+1≥(n+1)323n3(a+1)(b+1)(c+1)≥(n+1)323n323•abc=(n+1)3n3，故(1)式成立.

显然这两个不等式都是(1)的特例.

注：1.文［2］中式(1)右端的系数(n+1)琻，应改为(n+1)3才正确.

2.不等式(1)又可以进一步推广为

n琻∏ni=1(a琻璱+a﹏-1璱+…+a璱+1)≥(n+1)琻•

∏ni=1(a﹏-1璱+a﹏-2璱+…+a璱+1).(4)

参考文献

［1］陈胜利.2007年乌克兰竞赛题及其证明.中国不等式研究小组网站.2007，2，18.

［2］邹守文.一道2007年乌克兰竞赛题的简证［J］.中学数学.湖北.2007，8，P15.

［3］王明建.一个优美不等式的证明及推广［J］.中学数学研究.江西.2008，2.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”