美丽的全等图形

李昊然

同学们学过的轴对称、平移、旋转以及中心对称这些变换后的图形都是全等的，它们在同学们的生活和学习中形成了一道美丽的风景线，同时也给社会带来了美丽与和谐.

一、轴对称变换

这部分内容主要有以下几点：（1）判断一个图形是不是轴对称图形；（2）弄清轴对称与轴对称图形的区别与联系；（3）找出对称轴的条数.

【温馨提示】注意理解轴对称和轴对称图形的有关概念，对称轴的概念以及判断，对图形要多观察，有时可借助于直觉判断.

例1（1）（2008年·烟台市）下列交通标志中，不是轴对称图形的是

（）.

（2）（2008年·青岛市）图1的各图形中，轴对称图形的个数是（）.

Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 4

分析： 本例主要考查轴对称图形的识别：一个图形如果沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则可判定该图形是轴对称图形.求解这类题时，应根据轴对称图形的定义去观察、分析它的各个选项，然后再作选择.

解：（1）观察4个图形，易知只有C中图案不是轴对称图形，故应选C.

（2）观察4个图形，易知只有第1个与第4个图案不是轴对称图形，故应选B.

点评：本题考查的是生活中的符号、标志，提醒我们要留意身边符号的意义，要学会欣赏轴对称图形带给我们的美．

二、平移变换

在同一平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移是继轴对称以后的又一个图形的基本变换，平移既可以表示物体（图形）运动的过程，也可以表示物体（图形）运动后最终的位置与初始位置的关系，平移不改变图形的形状和大小．

例2（2008年·重庆市）作图题.（不要求写作法）

如图2，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）.

（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1.

（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2.

分析： 在平移作图时，常用的方法有两种：一是确定对应点，由对应点得到平移后的图形；二是确定对应线段，由对应线段得到平移后的图形．

解：作图如图3.

点评：平移时要搞清平移的方向和平移的距离.轴对称首先要找到对称轴，然后分别作已知点的对称点，连线即可得到所求图形.

三、旋转变换

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角，旋转不改变图形的大小和形状．

要理解好概念，应注意以下两点：

（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转角所决定的；

（2）注意图形旋转的对应元素．

例3（2008年·无锡市）如图4，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）.

Ａ． 55° Ｂ． 45°

Ｃ． 40° Ｄ． 35°

分析： 根据旋转图形的性质，旋转不改变图形的大小和形状.

解：由题意得△OAB≌△OCD，所以∠AOB=∠COD=45°，所以∠AOD=80° - 45°=35°.

故应选 D.

点评：本题考查旋转的性质，即图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化．

四、中心对称变换

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点.

例4 （2008年·安徽省）如图5，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C进行循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处……

如此下去.

（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：.

（2）求经过第2 008次跳动之后，棋子落点与点P的距离.

分析： 解本题时，可在坐标系中先让P点依次关于点A、B、C作循环对称跳动，分别画出对称点，根据坐标系写出对称点的坐标；然后观察跳动的规律，每跳动3次后回到P处，可以得出经过2 008次跳动后，棋子落在点M处，计算PM的距离得出结果.

解：（1）M（－2，0），N（4，4）（画图略）.

（2）棋子跳动3次后又回到点P处，所以经过第2 008次跳动后，棋子落在点M处.

PM== =2.

答：经过第2 008次跳动后，棋子落点与P点的距离为2.

点评：本题主要考查中心对称和坐标的知识.一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这一点对称，即中心对称.解题时要充分结合坐标系进行考虑.

五、综合变换

例5（2008年·南京市）如图6，菱形 ABCD与菱形EFGH的形状、大小完全相同．

（1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写.

①点E、F、G、H，②点G、F、E、H，③点E、H、G、F，④点G、H、E、F．

如果图6（1）经过一次平移后得到图6（2），那么点A、B、C、D的对应点分别是.

如果图6（1）经过一次轴对称后得到图6（2），那么点A、B、C、D的对应点分别是.

如果图6（1）经过一次旋转后得到图6（2），那么点A、B、C、D的对应点分别是.

（2）①图6（1），图6（2）关于点O成中心对称，请画出对称中心（保留作图痕迹，不写作法）.

②写出两个图形成中心对称的一条性质：．（可以结合所画图形叙述）

分析： 题中先给出了两个全等的菱形，然后要求同学们按照题目中给出的提示和要求进行变换，做题时一定要根据这几种全等变换的有关性质进行画图与判断.

解：（1）①②④

（2）①画图略.

②答案不唯一，如对应线段相等，OC=OE等．

点评：本题是对平移、轴对称、旋转及中心对称等相关知识的考查.（1）根据平移、轴对称、旋转的概念解决.（2）对应点的连线交于对称中心.（3）写出一条性质即可，如对应线段相等，对应角相等，连接对称点的线段都经过对称中心并且被对称中心平分等.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。