子结构方法在圆柱壳体振动特性分析中的应用研究

王雪仁 缪旭弘 贾 地

海军装备研究院，北京100161

子结构方法在圆柱壳体振动特性分析中的应用研究

王雪仁 缪旭弘 贾 地

海军装备研究院，北京100161

针对大型复杂结构振动特性的预测问题，发展了一种子结构方法，并应用于圆柱壳模型的振动特性研究。圆柱壳模型长4.2 m，直径0.4 m，由5部分组成，并且在第4和第5部分内有一个轴系结构。用子结构方法研究其振动特性时，模型被分为3个子结构，子结构间通过螺栓进行连接。因此，首先介绍了子结构方法及连接处理方式的理论基础，然后通过实验验证了发展方法的正确性，并着重分析了子结构模态综合阶数和连接处理方式对整体结构预测结果的影响规律，最后对比分析了子结构方法与传统有限元法对计算量和内存量的要求。结果表明：发展的子结构方法具有较高的精度，可应用于求解船舶等大型复杂结构的振动特性。

圆柱壳；复杂结构；子结构方法；振动特性；结构模态

1 引言

20世纪60年代，HURTY［1，2］首先提出子结构法的概念，其核心思想是将整体结构视为由若干个子结构以某种方式组合在一起的整体，而每个子结构的动力学特征可以用一组独立的模态来表示。HURTY将这些模态称为结构的特征模态，并引入了约束模态，以保证子结构间是作为一个整体存在，而非独立的个体。此后，许多人对这一方法在如何选择子结构模态和如何保证内部边界的几何连续性方面做了进一步的研究和发展［3－6］。20世纪80年代以后，人们对子结构方法的关注愈来愈少，主要是计算机的快速发展使原先难以整体建模处理的结构变得容易实现。然而，近来随着人们对船舶、飞机、卫星等这些大型复杂结构振动特性的关注，特别是对这些特性定量分析的要求，使子结构方法再次成为被关注的对象。子结构方法中子结构的综合模态截取数和子结构装配时交界面的连接处理方式是影响子结构方法求解精度和效率的关键因素，然而以往的研究在这方面的工作还较少。该文将针对这些内容开展相关研究，首先介绍子结构法的基本原理，推导子结构法中连接方式处理的理论基础，并应用于圆柱壳体模型研究。

2 理论基础

2.1 子结构方法

子结构方法的基本思想是 “分割与装配”，具体可分为3个步骤：一是划分子结构，即确定每个子结构的坐标关系；二是求解子结构的缩减矩阵及相互间的关系；三是子结构装配求解整个结构的振动响应。

阻尼系统的结构有限元动力学方程为：

式中，M、C和K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵；x¨、x˙和x分别为加速度、速度和位移向量矩阵，每个节点分别包含3个平移自由度（x，y，z）和3个转动自由度（θx，θy，θz）；F为外部载荷向量。

假设该阻尼系统被分为n个子结构，其中第m个子结构有个相邻的子结构，并以｛I｝k代表第k个子结构的内部自由度集，｛B1｝k，｛B2｝k，…，｛Bm｝k分别代表第k个子结构与第k＋1，k＋2，…，k＋m个子结构的公共边界自由度集，那么当考察第k＋1个子结构对第k个子结构的影响时，第k个子结构的动力学方程可以分块矩阵的形式表示为：

式中，A表示｛I｝k与｛B2｝k，…，｛Bm｝k等自由度集的并集；B表示｛B1｝k。

同理，可得到当考查第k个子结构对第k＋1个子结构的影响时，第k＋1个子结构的动力学方程可以分块矩阵的形式表示为：

这时，A表示｛I｝k＋1与｛B2｝k＋1，…，｛Bl｝k＋1等自由度集的并集，l表示第k＋1个子结构有l个相邻的子结构，B表示｛B1｝k＋1，且假定其第一个相邻的子结构为第k个子结构，则有｛B1｝k＋1＝｛B1｝k。依此类推，便可以得到所有子结构间相互关系的动力学方程，联合求解即能得到整个结构的动力学特性。但这个过程是复杂而繁琐的，计算量和数据存储量往往超过，甚至远大于整体结构直接建模求解。

为解决这个问题，就需要对如式（2）和式（3）所示等这些子结构的动力学方程进行解耦，以实现各子结构动力学方程的独立求解。第一步便是将位移坐标转换为模态坐标，即

式中，ΨN和ΨC分别是结构的标准化特征模态和约束模态矩阵，合称为模态转换矩阵Ψ，ξA和ξB分别是结构的界面和内部节点独立广义位移向量。Ψ和ξ可由特征值问题和静态平衡方程求得。然后再进行第二次独立坐标变换，消除ξN中的非独立坐标，即

式中，S为独立坐标变换矩阵，ξ为独立的广义坐标，具体形式见文献［7］。

将式（4）和式（5）代入式（2）和式（3）等子结构动力学方程中，并根据各子结构间相互连接的协调条件，即可得到求解系统响应的缩减后的系统动力方程。

式中，M＝TTMT，c＝TTCT，k＝TTKT，f＝TTF，T＝ΨS。

求解式（6）后，即可将相应的结果由模态坐标转换为物理坐标，以得到结构的实际响应。

2.2 子结构间界面协调条件处理

子结构间相互连接的协调条件是影响子结构综合求解精度的关键因素，其连接方式可以处理为刚性连接、柔性连接或者是简单的位移连续条件。在数学处理上，这些边界条件均可以由边界点的线性约束组合表示，约束矩阵方程为：

式中，A为m×n阶系数矩阵；y为n×1阶位移矩阵；d为m×1阶常数矩阵。

子结构间的实际连接方式是多种多样的，典型的有螺栓连接、焊接、铆接及扣接等，这些连接精确的有限元模型描述是复杂而繁琐的，幸运的是在求解结构整体响应时，这种细致的描述是不需要的。实际上，这些连接均可通过定义刚性连接、柔性连接或者是简单的位移连续条件来实现，由式（7）来描述。例如，考虑连接节点a和b的点焊，如果两节点之间的距离可以忽略，则a和b的位移是相同的，即

如果两节点之间的距离不可忽略，则可用刚性棒模型处理两节点之间的位移关系，即

式中，θa和θb是节点角向量，r为由b到a的距离向量。

但是，有些连接在数学处理上是不易准确定义的，如螺栓连接，其预紧力大小将会影响连接点的自由度约束情况，本文即将探讨两种处理方式对预测结果的影响，即方式一：xa＝xb，θa＝θb；方式二：xa＝xb，θa≠θb。

由式（7）可以看出，子结构间协调条件越多，式（7）的维数越大，同时，式（4）中的约束模态矩阵ΨC的维数e与协调条件数h的关系为：

因此，子结构间协调条件的增加将会导致子结构方法效率的降低。

本文通过对大型商业软件 （如Ansys，LMS Virtual.lab等）的二次开发，编制相应的接口程序，实现对上述矩阵方程的求解。

3 结构模型

考察的模型为图1所示的圆柱壳体结构，整个结构由5个分段组成，分段之间靠内法兰或外法兰螺栓连接，在Ⅲ、Ⅵ、Ⅴ段内设计有轴系结构。利用子结构法进行仿真计算和模型试验时，将结构分为首部（第Ⅰ段）、中部（第Ⅱ段）和尾部（第Ⅲ、Ⅵ和Ⅴ段）三部分。结构实物如图2所示。

结构的固有模态测试分为4个部分：首部、中部、尾部3个子结构测试以及模型整体测试。均采用弹簧吊装的方式模拟各结构的自由约束边界条件，为获得结构的振型，采用单点激励多点响应的测试方法。为激起结构的中高频模态响应，采用铝质力锤头激励，数据采集与处理系统采用LMS Test.lab系统。

4 结构的特征模态分析

本节中子结构间的螺栓连接协调条件取2.2节中的方式一。

4.1 子结构特征模态分析

结构的模态分析将采用子结构方法和直接方法，其区别在于子结构方法中子结构是作为整体中的个体存在，设定的边界条件包含整体因素，而直接方法中则将子结构视为独立的个体。子结构方法通过在公共边界节点上的静力补偿来考虑整体因素的影响，通过静力补偿的设置来获得式（4）中所需的约束模态。因此，直接法预测结果中只包含结构的特征模态，而子结构方法预测结果中除结构的特征模态外，还包含约束模态。模型中的公共边界点为螺栓连接点，因此，首部和尾部子结构各有8个公共边界点，而中部子结构有16个公共边界点。首部、中部和尾部3个子结构特征模态的仿真计算结果与试验测量值对比见表1～表3。可以看出，子结构方法和直接方法所得特征模态预测结果完全一致，且与试验值吻合良好，说明子结构方法分析结果不仅包含子结构组合集成时所需的信息，而且完全包含独立子结构振动特性信息。

图1 圆柱壳体模型结构尺寸

图2 圆柱壳体模型实物

表1 首部子结构典型模态比较（Hz）

表2 中部子结构典型模态比较（Hz)

表3 尾部子结构典型模态比较(Hz)

表4 整体结构典型模态比较(Hz)

4.2 整体结构特征模态分析

整体结构典型特征模态的子结构方法、直接法预测结果及试验测量结果见表4，子结构方法与直接法前50阶模态预测结果比较见图3。由表4和图3可以看出，3种方法预测结果吻合较好，说明子结构方法可正确预测结构的振动特性。子结构方法的预测精度相对于直接方法略差，是由于子结构间边界条件的连接处理和子结构的截取模态数有限。

图3 直接法与子结构方法预测结果比较

图4 子结构特征模态均为50阶时，子结构综合阶数对整体结构模态预测结果的影响

5 子结构方法求解精度探讨

由式（4）和式（7）可以看出，子结构方法的求解精度主要取决于子结构截取模态的数目以及子结构装配连接时边界条件的处理，本文将针对图1模型对这两个方面进行探讨。

5.1 子结构模态截取数对求解精度的影响

各子结构独立计算时均设置计算前50阶结构特征模态，而实际计算时，由于静态补偿点的影响，计算结果中除了结构的特征模态外还有考虑整体因素的约束模态，由式（10），并考虑2.2节中的边界条件处理方式一，可知首部和尾部子结构的计算结果各有98阶模态，中部子结构有146阶模态。在子结构进行装配计算整体结构模态时，3个子结构均取前60阶、80阶和98阶相同的阶数参与综合计算，以及每个子结构全部模态均参与综合计算等4种情况，计算结果如图4所示。可以看出，随着各子结构模态综合阶数的增大，整体模态预测结果的精度逐渐提高，当所取模态综合阶数等于首、尾部子结构的全部模态数时，所得结果与全部模态都参与综合计算时预测结果吻合很好。

当各子结构均设置计算前40阶和前70阶结构特征模态时，首部、中部和尾部的模态计算结果各有88阶、136阶、88阶和118阶、166阶、118阶模态。子结构模态综合阶数对整体结构模态预测结果的影响如图5和图6所示。同样可以看出，当子结构模态综合阶数为其中包含最少模态的子结构的全部模态数时，整体模型的预测结果可视为达到稳定。

5.2 子结构间连接处理对求解精度的影响

根据实际结构，模型首部、中部和尾部3个子结构间的连接采用刚性螺栓单元连接，它是一种蜘蛛网式单元和节点，具有x，y，z 3个平移自由度和θx，θy，θz3个转动自由度。各子结构独立计算时，求解特征模态数均为前50阶，整体结构装配中交界面连接处理方式（即边界协调条件）对预测结果的影响如图7所示。图中模态频率变化量定义为：

图5 子结构特征模态均为40阶时，子结构综合阶数对整体预测结果的影响

图6 子结构特征模态均为70阶时，子结构综合阶数对整体预测结果的影响

图7 边界协调条件对整体结构预测模态结果的影响

由图7可以看出，连接点自由度全部耦合（即2.2节中界面协调条件方式一）计算结果精度好于部分自由度耦合 （即2.2节中界面协调条件方式二）计算结果；边界协调条件处理方式对预测结果的影响是明显的，特别是对低阶模态的影响是不可忽略的，前20阶非刚体模态的变化量在10%以上，而第1阶非刚体模态的变化量更是达到50%。

当子结构连接点3个方向的平移自由度耦合而转动自由度自由时，子结构模态耦合阶数对整体结构求解精度的影响如图8所示。比较图4和图8可以看出，连接点耦合自由度越少，整体模态预测结果对子结构模态耦合阶数的敏感度越小。当只耦合约束3个平移自由度时，每个子结构取其前80阶模态参与整体模态耦合计算即能得到稳定的结果。

6 子结构方法效率探讨

针对子结构间连接点平移和转动自由度全部耦合约束的情况开展相应的探讨，子结构的特征模态数为50阶。直接法与子结构方法耗费的时间与内存量的比较见表5。可以看出，子结构独立计算时子结构方法耗费的时间明显多于直接法，而占用的内存量基本一致，这是由于子结构方法中除了求解特征模态外还有约束模态，导致计算时间增大，而内存量只与模型单元和节点数有关。子结构方法的整体结构模态的计算时间明显小于直接法，而占用内存量明显大于直接法，这是由于子结构方法采用模态综合法求解整体结构的模态，不需有限元矩阵方程组形成和求解，但需要大量的各子结构模态信息结果数据。子结构方法中子结构模态综合阶数对应的整体模态计算时间和内存量见表6，关系曲线如图9和图10所示。可以看出，整体模态的计算时间和内存量以线性关系随着综合阶数的增加而增大。

图8 子结构间界面协调条件取方式二时，子结构模态综合阶数对整体结构模态预测结果的影响

表5 直接法与子结构法计算时间与内存量比较

表6 子结构模态综合阶数对整体结构模态计算时间与内存量的影响

图9 子结构模态综合阶数对整体结构模态预测计算时间的影响

图10 子结构模态综合阶数对整体结构模态预测占用内存量的影响

7 结论

发展了子结构方法，应用于圆柱壳体模型研究，并分析了影响其预测精度和效率的因素，得到了以下结论：

1）子结构方法可正确预测结构的振动特性，将复杂的结构分解为若干简单的结构分别研究。

2）子结构方法的预测精度受子结构模态截取数和子结构间的连接边界条件两个主要因素的影响：参与综合的模态数愈多，求解精度愈高，当子结构模态综合阶数为其中包含最少模态的子结构的全部模态数时，整体模型的预测结果可视为达到稳定；子结构间协调边界条件数越少，整体模态预测结果对子结构模态综合阶数的敏感度越小。

3）子结构方法可实现各子结构的独立求解，在各子结构振动特性已知的情况下可快速求解整体结构振动特性，其计算时间和内存量以线性关系随着子结构参与综合的模态阶数的增加而增大。

［1］ HURTY W C.Vibration of structural systems by component mode synthesis［J］.Journal of the Engineering Mechanics Division，ASCE，1960，86（4）：51－69.

［2］ HURTY W C.Dynamic analysis of structural systems using component modes［J］.AIAA Journal，1965，3（4）：678－685.

［3］ MEIROVITCH L，HALET A L.On the substructure synthesis method［J］.AIAA Journal，1981，19（7）：940－947.

［4］ JIANG J S，TONG W H.How many modes are acceptable and how do people improve the modes［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，228（3）：559－567.

［5］ HOU G E，WANG Y.A substructuring technique for design modifications of interface conditions［C］//45th AIAA／ASME／ASCE／AHS／ASC Structures，Structural Dynamics＆Materials Conference，California，Palm Springs，Apr.19-22，2004.

［6］ KIM D K，LEE M S，HAN J H.Substructure synthesis method for a nonlinear structure with a sliding mode condition［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，321（3－5）：704－720.

［7］ 殷学纲，陈淮，蹇开林.结构振动分析的子结构方法［M］.北京：中国铁道出版社，1991.

Substructure Synthesis Method for Vibration Characteristics Analysis of Cylindrical Shell

Wang Xue－ren Miao Xu－hong Jia Di
Naval Equipment Academy，Beijing 100161，China

The substructure synthesis method was developed and applied to predict the structure vibration characteristics of a cylindrical shell model with length and diameter of 4.2m and 0.4m respectively.The shell model consists of five parts and a shafting passing through the fourth and the fifth parts.When computing，the model was divided into three substructures connected by bolts.Theories about the substructure synthesis method and the connection modeling technique were introduced at first.Then the accuracy of the developed method was verified by comparing the predicted results with the experimental results of the structure modes.Several factors，such as modal reduction and interface conditions，were studied about their effects on the accuracy of the predictions.Computational time and memory usage of the substructure synthesis method were compared with those of the traditional FEM.The comparison shows the efficiency of the substructure synthesis method.The results show that the developed substructure synthesis method is an effective method for predicting vibration characteristics of large and complex structures such as ships.

cylindrical shell；complex structure；substructure synthesis method；vibration characteristics；structure mode

TB532

A

1673－3185（2009）05－08－06

2009-05-12

中国博士后科学基金资助项目（20080431388）

王雪仁（1980－），男，博士后。研究方向：振动噪声控制。E-mail：wxrencon@yahoo.com.cn