中学生应该掌握的数学基本思想

李登祯

数学思想方法产生于数学知识，数学知识又蕴涵着数学思想方法，二者是相辅相承，缺一不可的。数学知识与数学思想方法的辩证统一决定了在中学数学教学中强调落实数学知识的同时，还要加强对学生数学思想方法的渗透。

由于长期以来受高考指挥棒的束缚，教学中往往过于强调对定义、定理、公式等的灌输和良好的记忆方法，而往往忽视了对这些定义、定理、公式等的产生、发展的进一步挖掘，经验少的教师就不善于将处理这些知识的数学思想方法进行高度的抽象和概括。长期以来的教学过程告诉我们，不注意数学思想方法的培养，将导致数学教学质量提高缓慢，学生高分低能，很难适应较高层次的学习，而且会严重阻碍学生创造性思维能力的形成与发展。

日本学者米山国藏曾指出：“无论是对于科学工作者、技术人员还是教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的”，即强调数学思想方法的重要性。下面就中学生应该掌握的数学思想方法加以分析论述。

一、集合思想

集合论已成为数学学科各分支统一的概念框架，又作为数学各科通用的数学语言。集合的元素可以是任意的对象，这就使数学应用的领域大大拓宽，集合运算与逻辑运算之间可以建立同构关系。因此，渗透集合思想便可使数学与逻辑更趋于统一、简捷。

中学数学中应及早渗透集合思想，使学生先了解集合的意义及其表示形式，并逐渐学会用集合的观点看待数学研究的对象，最后引入集合的运算和集合元素之间的对应，集合的思想要贯穿于中学数学具体内容的各个部分及学生数学能力培养的各个环节。

二、优化思想

所谓优化思想是指在某些制定条件下，力求获得“最优”或“最佳”的结果。这一思想在当今以及未来社会发展中极其重要。如股票、投资、购房、买车等逐渐进入家庭，“最好、最大、最省、最小”等问题，无一不是最优化问题。现行中学教材正在有意识地增加这方面的应用，高中教材以章节的形式加以分析，如线性规划是以单纯形算法为开端。最优化的难题和富有成效的应用都将成为数学研究的前沿方向之一。那么，中学教学应有利于培养学生形成自觉地应用优化思想，及有效的优化方法，并适时运用到未来的社会实践中去。

三、数形结合思想

数形结合，就是在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题的新路子，或者在研究图形时，利用代数的性质，来解决图形的有关方面的问题。“形”中的若干量在一定的条件下可以分解为若干个确定的“数”，体现了内容与形式的辩证统一。

在中学数学中，数形结合不仅强调字母可以表示数，还可以表示式和图形。如：列方程解应用题时，可利用各种形象化的示意图；在线段、角的计算中，恰当地设未知量，列出方程或方程组，通过解方程或方程组去解决问题。中学数学中还有许多，数形结合的素材。如：正弦定理、余弦定理、函数与图象、方程与曲线、函数与不等式等，这些都需要在教学中认真挖掘，从而开发学生的创造力、发散思维能力。

四、函数与方程的思想

函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想，或者说是从一个集合到另一个集合的一种映射思想。它是数学从常量到变量的枢纽，能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互联系。方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一体，是变量与变量互相制约的条件，它反映了已知量和未知量之间的内在联系。在中学数学中强化函数与方程的思想，需要贯穿于整个教学的始终。

五、化归思想

根据数学知识内在的联系与矛盾，通过对数学形式的内部或外部的变更，寻求问题与已有经验的逻辑关系，通过观察、联想、类比，使数学问题规范化或简单化。

数学问题在求解时，往往有俗成的套路，或处理问题的固定的程序，这样的问题就称作规范化问题或模式化问题，为此，在一定意义上讲，数学问题的解决就是不断寻求规范化。学生一经形成了自觉的化归意识，就可以熟练地化繁为简、化隐为显、化难为易、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体等等，从而使学生形成良好的辨证思维能力，培养灵活的思维品质。

六、分类思想

对处于复杂状态或综合状态下的问题，如果无法直接确定它的必然结果，可以对复杂状态或综合状态进行分类，化成若干个处于简单或单一状态的问题，通过求解小问题达到求解大题的目的，即化整为零。

中学数学中有些数学问题往往含有参数，需要对参数进行分类讨论，这也是高考中必考的，它可以有效地考查考生对分类标准的确定，严谨的逻辑思维能力；在几何图形中研究点与点、点与线、点与面、线与线、线与面、面与面等的位置关系；排列组合等。分类思想在其它学科中也时有体现，应给予足够的重视。

分类思想还有助于培养科学的学习方法，合理的分类会使人的记忆更加牢固。

七、极限思想

极限概念的发展来看，普遍接受其直观的朴素的极限概念。高中数学课程中，对极限概念的介绍也仅仅是直观上的，目的在于讲解导数，并会进行运用。极限思想在高中物理或化学中时常用到。

极限思想有时会使我们看到问题的结论，或产生新的分支。如平行线相交于无穷远处；解题时所用的特例或特值法。

八、符号化与变元思想

使用符号化语言和在其中引进变元是数学高度抽象的基础，它能够使数学研究的对象更加准确、具体和简捷，容易揭示事物的本质。一套形象化的数学语言能够极大地简化和加速思维过程。特别是高考对“符号语言”的考查，不仅仅局限于“用字母表示数”，还可以用字母或其它符号表示具有一定通性的“量”(如：数量、向量、变换、命题、事件、推理等)及运算，其特点明确、简捷。

总之，数学是揭示和认识自然规律的科学，数学思想是一个人应具各的基本品质。掌握一定的数学思想方法可以使人更理性、更全面地去思考问题，更便捷地从多向选择方案中定向选择最优方案。拥有一定的数学思想，从数学思想中抽象出严密的逻辑关系，升华意识，提高做事的效率是学习数学的根本。由此，每一个学生在学习数学的过程中都应当掌握一定的数学方法，而不是单纯会做题，得高分。