隐非齐次马尔可夫模型的强大数定律

吴小太,吴艳蕾

(安徽工程科技学院数学系,安徽芜湖 241000)

隐非齐次马尔可夫模型的强大数定律

吴小太,吴艳蕾

(安徽工程科技学院数学系,安徽芜湖 241000)

在状态集都有限的情况下,给出了隐马尔可夫模型的一些性质定理.利用马氏链的强极限定理,得到了隐非齐次马尔可夫模型的强大数定律.

隐马尔科夫模型;隐非齐次马尔可夫模型;强大数定律

1 引言

设{Xn,n≥0}与{Yn,n≥0}是概率空间(Ω,F,P)上分别取值于S与T的随机变量序列,其中S与T均为可列集.假设{Xn,n≥0}是马氏链，它不能被直接观测到,称为隐藏链.而能观测到的是{Yn,n≥0}，称为观测链.若对∀xt∈S,yt∈T,0≤t≤n,有

则称(Xn,Yn,n≥0)为隐马尔可夫模型.当{Xn,n≥0}是非齐次马氏链时,称(Xn,Yn,n≥0)为隐非齐次马尔可夫模型.

隐马尔可夫模型在近几十年被广泛应用于弱相依随机变量的建模上,主要用于发音过程,神经生理学与生物遗传等方面问题的研究.隐马尔可夫模型的理论研究方面也取得了一系列的成果.Leroux[1],Genon-Catalot等[2]给出了一些隐马尔可夫模型的熵遍历定律, Maxwall[3]与Bickel等[4]给出了隐马尔可夫模型在中心极限定理方面的一些性质.但隐马尔可夫模型的理论研究并不完善,并且在实际应用中经常遇到隐藏链为非齐次马尔可夫链的情形,如动态的图象处理[5],气候的预测[6]中均需要建立隐非齐次马尔可夫模型,但对隐非齐次马尔可夫模型的研究甚少.本文给出了隐马尔可夫模型的一些性质定理,并在状态集都有限的情况下,给出了隐非齐次马尔可夫模型的强大数定律.

2 模型性质

隐马尔可夫模型具有如下性质:

定理1设{Xn,n≥0}与{Yn,n≥0}是概率空间(Ω,F,P)上分别取值于S与T的随机变量序列,则下列叙述等价

(¡)(Xn,Yn,n≥0)是隐马尔可夫模型;

(¡¡)∀xt∈S,yt∈T,0≤t≤n,有

3 强大数定律

由(28)式与(19)式,即得(21)式.

4)在(21)式中设f(x,y)=f(y),由(21)式即得(22)式.

[1]Leroux B G.Maximum-likelihood estimation for hidden Markov models[J].Stochastic process Appl.,1992, 40:127-143.

[2]Genon-Catalot V,Laredo C.Leroux’s method for general hidden Markov models[J].Stochastic process Appl., 2006,116:222-243.

[3]Bickel P J,Ritov R,Ya’acov T R.Asmptotic normality of the maximum-likelihood estimator for general hidden markov models[J].Ann.Statist.,1998,26(4):1614-1635.

[4]Maxwell M,Woodroofe M.A local limit theorem for hidden Markov chains[J].Stat.Probab.Letts.,1997, 32:125-131.

[5]Beatriz L,Pilar L,Alberto L.Dynamic graphical models and nonhomogeneous hidden Markov models[J]. Statistics Probability Letters,2000,49:377-385.

[6]Bryson C,Bates S.Stochastic downscaling of numerical climate model simulations[J].Environmental Modelling Software,1998,13:325-331.

[7]杨卫国,吴小太,王豹.一类隐马尔可夫模型的若干极限性质[J].江苏大学学报:自然版,2006,27(5):467-470.

[8]王梓坤,杨向群.生灭过程与马尔可夫链[M].北京:科学出版社,2005.

[9]Liu W,Yang W G.A class of strong limit theorems for the sequences of arbitrary random variables[J].Stat. Probab.Letts.,2003,64:121-131.

[10]Liu W,Yang W G.An extension of Shannon-Mcmillan theorem and some limit properties for nonhomogeneous Markov chains[J].Stochastic Process.Appl.,1996,61:129-145.

[11]汪进,杨卫国.m重非齐次马氏链的Cesaro平均收敛性[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(4):752-758.

The strong law of large numbers of nonhomogeneous hidden Markov models

WU Xiao-tai,WU Yan-lei
(Department of Mathematics,Anhui University of Technology and Science,Wuhu241000,China)

In this paper,we get some properties of hidden Markov models when the sets are limited.By the strong limited theorem of Markov chains,we obtained some strong laws of large numbers for nonhomogeneous hidden Markov model.

hidden Markov models,nonhomogeneous hidden Markov models,strong law of large numbers

O211.6

A

1008-5513(2009)03-0502-06

2007-01-22.

国家自然科学基金(10571076,10826098),安徽工程科技学院院青年基金(2007YQ025).作者简介：吴小太(1982-),讲师,研究方向：马氏链.

2000MSC:60F15