浅谈设计数学问题，培养学生主动探索的学习方式

匡唐松

学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习。高中数学课程倡导学生开展自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。新的高中数学课程的最大的特点:提出了很多思考、探究性的问题,没有例题示范的探究性练习。希望学生通过自学课本,上网查找资料和互相讨论,依靠自己的努力去尝试解决问题。这样从小培养他们试一试的精神,长此以往,逐步形成一种勇于探索的精神。他们长大以后,对于不懂的事物,不会做的工作都能有“让我试一试”的精神,这种积极主动、勇于尝试的探索精神是极其可贵的,是新时代人才必须具备的重要素质。有人把世界上320名诺贝尔奖获得者所具有共同的内在素质归纳为6个方面:(1)高瞻远瞩,善于把握时机;(2)选准目标,坚持不懈;(3)勤奋努力,注重实践;(4)富于幻想,大胆探索;(5)排除干扰,勇往直前;(6)积极主动,兴趣浓厚。从这6个方面看,积极主动,大胆探索,勇往直前是极为重要的。

学习、掌握并能灵活应用数学的途径有千万条,每个人都可以有与众不同的数学学习方法,做习题,用数学解决各种问题是必需的;理解概念,学会证明,领会思想,掌握方法也是必需的。还要充分发挥问题的作用,问题使我们的学习更主动,更生动,更富探索性。要学会提问,善于提问,“凡事问个为什么”,用自己的问题和别人的问题带动自己的学习。俗话说:“看过问题三百个,不会解题也会问”。教学要促进学生思维发展,就应当培养学生的问题意识,使学生产生问题意识并能自主解决问题的教学才是成功的教学。因此,教师精心设计问题,使设计出的问题具有挑战性,思考量大,创造性空间广阔。可以大大激发学生的创造欲望,提高学生的创新意识和创新能力。下面就结合自己的教学实践谈谈问题的设计。

一、问题的可行性

在设计数学问题时,教师必须研究学生的思维发展规律和知识水平,因为学生的认识系统是不完全相同的,因此教师在进行问题设计时,必须根据每个学生的“最近发展区”进行设计。所谓最近发展区就是在原有认知结构的基础上最易被同化和顺应的认识结构,也就是我们常说的“跳一跳,摘桃子”。问题太难,学生没法入手,只会使学生对学习产生厌倦和畏难情绪。因此,教师要根据学生的年龄特点、学生已有的认知结构及学生的生活实际,提出既有一定难度又是学生力所能及的问题,而且这些问题既能有效的激发学生的求知欲望,又能使学生积极主动地寻求解决问题的策略,并通过一定的努力或小组讨论、研究、最后达到问题解决。例如:我在讲完例题“在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在正方形内切圆中的豆子数与落在正方形的豆子数之比并以此估计圆周率的值”。接着提出问题:我国数学家刘徽采用了以直代曲,无限趋近,“内外夹逼”的思想,创立了“割圆术”,得出圆周率的近似值π=3.14;南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”求得π的范围在3.1415926到3.1415927之间。今天的分组实践作业是用豆子和用计算机模拟实验的方法估算圆周率的值,若精确度达不到小数点后两位的,要找出失败的原因,并想想如何改进试验,找出提高精确度的方法。试验结果:大多数组的同学用豆子很难得出π=3.14。只通过实验得出的结论是:将正方形边长适当增长,撒的豆子适当增多,得出π的值由2.4上升到3.0。有一组同学,把豆子换成玻璃珠,又把玻璃珠由大颗换成小颗,最后换成小钢珠,发现π的近似值精确度不断提高,有一组同学不是随机撒,而是把小钢珠均匀布满整个方框,适当增加边长,π的近似值精确度达到小数点后三位。有的组利用计算机模拟实验,发现随着实验次数的增加,得到的π的近似值的精确度会越来越高,很容易精确到小数点后七位。我充分肯定了同学们在实验中体现的主动性、探究性的精神。接着提问:为什么后两位同学的精确度如此之高,两者之间有必然的联系吗?为什么?请大家分组再讨论。有的同学回答说:因为每颗小钢珠投影的面积为s,圆的面积就可以近似地看作ns,同样正方形的面积近似地看作ms。这样,若正方形的边长为2a,则“圆的面积:正方形面积=π·a2:4a2=π:4≈ns:ms=n:m”。当ns无限趋于圆的面积,ms无限趋于正方形的面积,精确度就越高。面积之比转换成点数之比,点数越多,面积就越接近,精确度就越高。这极大地调动了学生的积极性,他们通过动脑、动手,在自主探究与合作交流的过程中,掌握了数学知识,领会了数学方

法,获得了数学活动的体验,这是传统的练习作业所达不到的效果。

二、问题的层次性

所谓层次性指的是问题里面各种各样的小问题,有难、中、易,适合不同层面的学生需要。人们对于数学问题的认识,是一个由浅入深、由易到难的渐进过程。因此,在数学问题的设计中,就要遵循这种原则,问题的设置应由小到大,由简到繁,由已知到未知,层层推进,步步深入,使学生在问题的探究中不断获得成功,逐步树立起学数学的自信心,培养其勇于探索、勇于攀登的精神。例:高中书本有一道习题:“从1、2、3……n这n个数中任取两个,求两数之积的数学期望。”我把这道题设计为:1.从1、2、3中任取两个数,求这两数之积的数学期望;2.抛掷两颗均匀的骰子,出现正面朝上的点数之积的数学期望;3.从a、b、c中任取两个,求两数之积的数学期望;4.推出书本习题。当学生通过探索发现归纳由1、2、3到1、2、3、4、5、6、推广到1、2、3……n遇到麻烦,转而由ab+bc+ac=1/2[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]方向上思考,探索出x1x2+x1x3+…+xixj+…+xn-1xn=1/2[(x1+x2+…+xn)2-(x12+x22+…+xn2)]这样由浅入深,由易到难,不仅可以把学生的探究活动步步引向深入,而且还可以培养学生学习数学的兴趣。

三、问题的应用性

20世纪下半叶以来,数学应用的巨大发展是数学显著特征之一。当今知识经济时代,数学正从幕后走向台前,数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值。高中数学课程力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用,数学与日常生活及其他学科的联系。例如:三国时期,诸葛亮运用气象观测经验,演出了一场“草船借箭”的好戏,令世人惊叹。统计预报以概率论为基础,应用于天气预报。利用恩格尔系数了解周围人生活质量的高低,我市城镇居民生活质量的变化。利用函数图象统计考试的班平均分与自己成绩的变化情况,了解自己在班级中的位置。投资方案的选择,在自然条件下,细胞分裂,人口增长,生物体内碳14的衰减等变化规律,借助计算机求方程的近似解。引导学生应用数学知识解决实际问题。

经历探索解决问题的过程,体会数学的应用价值,帮助学生认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息,面对实际问题,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。

作者单位:中山市杨仙逸中学