基于曲率模态变化率指标的结构损伤识别

张 勇， 静 行， 袁海庆

(武汉理工大学 土木工程与建筑学院, 湖北 武汉 430070)

结构在服役期间由于受到冲击、地震、风荷载、腐蚀等作用，材料内部结构会发生变化，由此必然会产生各种各样的损伤[1]。如今，土木工程结构的安全性问题日益引起人们的关注，尤其对于大型结构而言，损伤无时无刻不威胁着人民的生命财产安全。因此，及时发现损伤并对其进行修复显得尤为重要。

结构损伤识别一般可分为4个阶段：结构损伤存在性判断、结构损伤位置诊断、结构损伤程度评估和损伤结构剩余寿命估计[2]。目前的研究工作基本停留在第二阶段。结构损伤定位的标识量应该具备以下基本条件：一是局域量，二是对结构局部损伤敏感，三是关于结构位置坐标的单调函数[3]。

曲率模态损伤识别法的基本原理是因损伤所致的构件截面刚度突变而引起截面的曲率变化，但曲率模态对于结构小程度损伤不敏感，而且难以反映模态节点处的损伤。为此，本文通过数值仿真计算，对曲率模态曲线进行一次微分，发现得到的曲率模态变化率曲线对于结构损伤具有更高的敏感性，而且对模态节点处损伤同样能够较好地进行识别。

1 曲率模态结构损伤识别理论

这里以梁为例来讨论曲率模态的相关理论依据[4]，其结论可以适用于任何类型的线性结构。忽略轴向力的影响，梁振动的微分方程为：

(1)

式中，υ(x,t)是横向振动位移，a1为Rayleigh阻尼刚度比例因子。

根据模态理论，方程(1)的解可以表示为模态贡献的叠加形式

(2)

式中，j为模态阶数；φj(x)和qj(t)分别是梁位移模态振型和模态坐标。

依据材料力学理论中弹性梁弯曲变形曲线曲率与位移的关系，任意截面x处梁弯曲振动曲线的曲率变化函数:

(3)

由材料力学知，梁的弯曲静力关系式

(4)

式中，M为梁截面弯矩；E为梁的弹性模量；I(x)为梁的截面抵抗矩。

由式(3)、式(4)可知，曲率模态随结构刚度的变化而变化，即曲率模态对结构损伤敏感，而且曲率模态与位移模态是一一对应关系。

对于实际工程结构，由于目前尚缺乏能够直接测量结构曲率响应的传感器，因此利用中心差分方法近似计算曲率模态振型[5]

(5)

该方法需要有足够密的测点，或精度非常好的插值扩阶模态，否则将增大曲率模态计算的误差。

结构不同程度的损伤，会导致曲率模态相应程度的变化，一般用突变模态差(损伤处左右侧二测点与完好状态曲率模态差的绝对值)表示：

(6)

2 曲率模态变化率损伤指标

2.1 问题的提出

将几何尺寸为900 mm×40 mm×10 mm的某简支梁划分为45个梁单元有限元模型，应用有限元软件模拟简支梁完好状态、跨中损伤两种工况，进行模态数值仿真计算分析。

完好状态下梁的弹性模量为2.1×1011MPa，泊松比取0.3，通过降低单元弹性模量模拟损伤。图1为利用位移模态差分计算所得的相应曲率模态曲线φ″(x)，在计算中为了减小差分带来的误差，事先用三次样条曲线对位移模态曲线进行了插值处理。图2为突变曲率模态差与损伤量的关系。对曲率模态仿真结果进行分析可以看到如下问题:

(a) 一阶

(b) 二阶

(c) 三阶

(d) 四阶图1 跨中损伤曲率模态曲线

图2 突变曲率模态差与损伤量的关系

(1)各阶模态反映损伤的情况并不相同，跨中损伤曲率模态曲线φ″(x)的一阶和三阶模态在跨中损伤处发生突变，而二阶和四阶模态节点处(即振型振幅为0的点)却并未发生明显变化，表明曲率模态对于模态节点处损伤并不敏感。

(2)图2表明，采用曲率模态差可以对结构的损伤程度进行定量研究，但是曲率模态差的计算要求知道结构完好状态下曲率模态数据，而对于大多数已建成的桥梁结构，建成时往往未必有相应的量测数据。

2.2 改进的敏感参数φ‴(x)

对式(3)两边求导得曲率变化率：

‴j(x)qj(t)

(7)

由式(4)、(7)可知，曲率模态变化率φ‴(x)随结构刚度的变化而单调变化，即φ‴(x)对结构损伤敏感。根据φ‴(x)与位移模态的一一对应性可知，φ‴(x)是结构位置坐标的单调函数。因此，作为局域量的φ‴(x)能满足损伤定位指标的基本要求。

现对图1曲率模态曲线进行一次微分，得到的曲率模态变化率曲线φ‴j(x)(如图3)。微分计算一般采用差分法

(8)

从图3得知，采用差分法得到的曲率模态变化率φ‴(x)曲线图，二阶和四阶模态曲线在跨中模态节点处发生了明显突变；而且一阶和三阶曲线在跨中损伤附近区域产生了更加剧烈的变化：从一侧极大(或极小)值，经过零点很快达到另一侧极小(或极大)值，此区域内两个极值点之间的范围即为结构损伤的大致影响区，两极值的中点即是结构损伤位置，并且各损伤量下的曲线几乎同时相交于损伤位置点，这也表明曲率变化率φ‴(x)模态曲线具有很强的损伤定位能力。

由此可见，φ‴(x)对结构损伤的敏感程度高于曲率模态。损伤越大，φ‴(x)曲线突变越明显。因此，也可以根据φ‴(x)突变大小判定结构的损伤程度。既然φ‴(x)曲线在结构损伤处发生剧烈变化，则φ‴(x)曲线突变极值差Δ(即损伤处左右两侧二节点极值差的绝对值)更能反映损伤曲线突变性，而且突变极值差的绝对值还可以消除试验或计算误差所引起的突变现象。令

(a) 一阶

(b) 二阶

(c) 三阶

(d) 四阶图3 跨中损伤曲率模态变化率曲线

Δj=|φ‴j2-φ‴j1|

(9)

式中，φ‴j1、φ‴j2分别是j阶模态损伤节点左右两侧二节点的模态值。

图4 突变极值差Δ与损伤量的关系

图4为一阶和三阶突变极值差Δ与损伤量的关系。结构损伤处突变极值差Δ与损伤量之间基本保持线性关系。Δ越大，损伤程度越大。另一方面，采用突变极值差作为结构损伤程度的研究指标，无需结构完好状态下的模态数据。

3 基于曲率变化率指标的数值算例

设有几何尺寸为2×450 mm×80 mm×20 mm的二跨连续梁。模拟四种工况：①无损；②左跨中5%损伤+中间支座5%损伤；③左跨中10%损伤+中间支座处10%损伤；④左跨中10%损伤+中间支座20%损伤。

通过ANSYS软件计算出位移模态数据，再采用差分法得到一阶、二阶曲率模态φ″(x)曲线和曲率模态变化率φ‴(x)曲线如图5所示。从图中不难看出，在本例多损情况下曲率模态的一阶、二阶曲线在损伤处变化并不明显，而曲率模态变化率φ‴(x)一阶、二阶曲线在左跨中损伤处发生明显突变，并且中间支座损伤处的曲线也发生了明显变化，进一步表明φ‴(x)指标不仅能反映模态节点处损伤，对于结构支座处损伤仍然能够做出敏感反应，而且低阶φ‴(x)曲线即可反映出结构的损伤特性。由此可见，相比曲率φ″(x)模态指标而言，曲率模态变化率φ‴(x)指标对于结构损伤识别具有更高的敏感度。

(a) 一阶曲率

(b) 一阶曲率变化率

(c) 二阶曲率

(d) 二阶曲率变化率图5 多处损伤曲率与曲率变化率曲线

4 结 语

本文在曲率模态的基础上提出新的结构损伤指标-曲率模态变化率φ‴(x)。数值仿真算例表明新指标相对于曲率模态对于结构损伤具有更高的敏感性。由曲率模态变化率φ‴(x)曲线图可知，突变区域内两个极值点之间的范围即为结构损伤的大致影响区，两极值的中点即是结构损伤位置；而且损伤处左右侧二节点突变极值差Δ与损伤量之间保持着良好的线性关系。

[1]Doebling S W, Farrar C R, Prime M B, et al. Damage Identification and Health Monitoring of Structural and Mechanical Systems from Changes in their Vibration Characteristics: A Literature Review [R]. Report LA-13070-MS. New Mexico: Los Alamos National Laboratory, 1996.

[2]胡业平, 张成海, 屠义强. 基于曲率模态的结构损伤定位[J]. 解放军理工大学学报(自然科学版), 2009, 10(10): 57-63.

[3]陈长征, 罗跃纲, 白秉三，等. 结构损伤检测与智能诊断[M]. 北京: 科学出版社, 2001.

[4]李庆扬. 数值分析[M]. 北京: 清华大学出版社, 2001.

[5]顾培英, 陈厚群, 李同春，等. 基于应变模态差分原理的直接定位损伤指标法[J]. 振动与冲击, 2006, 25(4): 13-17.