用类比法来探究图像中“面积”的应用

李维兵

(南通高等师范学校 江苏南通 226100)

类比法是中学物理教学中常用的一种基本方法,它是根据两个对象在某些属性或关系上相似而推出它们在另一个属性或关系上也可能相似的一种推理形式.在教学中,类比法不仅体现在概念、原理的理解上,而且也体现在解题应用上.下面就用类比法来探究图像中“面积”的应用.

【例1】总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下,经过2 s拉开绳索开启降落伞,图1所示是跳伞过程中的v-t图像,试根据图像估算14 s内运动员下落的高度(g取10m/s2).

图1

解析:由v-t图中可知,运动员在14 s内速度是非线性变化,只能通过由面积估算得出运动员在14 s内下落的高度:即每格2×2m=4m,共计40×4m=160m(图2).

图2

通过该题,我们知道了在v-t图像中,速度曲线与t轴所夹的面积表示位移大小.

其实图像中的“面积”应用很广泛,在动力学、电学、热学中都可涉及;下面分别从这三方面来探究.

1 图像中的“面积”在动力学中应用

【例2】质量为2 kg的物体静止在光滑水平面上,现对物体施加一水平力F,物体在力F作用下,产生的加速度a随时间t的变化关系如图3所示.重力加速度g取10m/s2,试根据图3,求:

(1)物体开始运动时的拉力大小;

(2)估算物体在5 s内的平均加速度;

(3)估算拉力F在10 s内对物体所做的功.

图3

解析:(1)由牛顿第二定律得

图4

(2)与例1同理,由图4估算可得5 s内的面积为35×1m/s2×1 s=35m/s,此时5 s内速度增量

平均加速度

代入数据得

从a-t图中,我们可以发现加速度随时间的变化是非线性的.虽然没有学过非线性变化下的平均加速度的求法,但是可以利用类比法,在a-t图中加速度a随时间的变化图像与t轴所围的面积表示速度的增量,即5 s内的面积可以表示5 s末的速度.这为动力学中解决变加速运动提供了一个求解的方法.

2 图像中的“面积”在电学中应用

【例3】如图5(a)所示,一边长 L=2.5m、质量m=0.5 kg的正方形金属线框,放在光滑绝缘的水平面上,整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度为B=0.8 T的匀强磁场中,它的一边与磁场的边界MN重合.在水平力F作用下由静止开始向左运动,经过5 s,线框被拉出磁场.测得金属线框中的电流随时间变化的图像如图5(b)所示.在金属线框被拉出的过程中:

(3)由图像知v10=75m/s

(4)由动能定理得外力做功

图5

(1)求通过线框导线截面的电荷及线框的电阻;

(2)写出水平力F随时间变化的表达式;

(3)已知在这5 s内力F做功1.92 J,那么在此过程中,线框产生的焦耳热是多少?

得

方法二 由I-t图像中电流与时间所围面积(图6)得

又根据

得

图6

(2)由电流-时间图像可知,感应电流随时间变化的规律

线框做匀加速直线运动,加速度

线框在外力F和安培力FA作用下做匀加速直线运动

(3)t=5 s时,线框从磁场中拉出时的速度

线框中产生的焦耳热

在线性变化下,平均值法和面积法都适用.在非线性变化下怎么办?I-t图线如图7(a)所示,该如何求5 s内通过线框导线截面的电荷?

解析:如图7(b),只能用面积法.

通过本题探究,我们发现在I-t图中电流随时间的变化图像与 t轴所围的面积表示电荷的增加.这在电学中解决电学量非线性变化时提供了一个求解的方法.

3 图像中的“面积”在热学中应用

【例4】图8所示为一定质量的某种理想气体由状态A经过状态C变到状态B的图像,下列说法正确的是

图8

A.该气体在状态A时的内能等于在状态B时的内能

B.该气体在状态A时的内能等于在状态C时的内能

C.该气体由状态A至状态B为吸热过程

D.该气体由状态A至状态C对外界所做的功大于从状态C至状态B对外界所做的功

解析:在A点pAVA的数值为1.4.在B点pBVB的数值为1.4.由恒量,故

理想气体内能仅为温度的函数,所以选择A选项,排除B选项.从A态到B态,气体一直对外做功,由ΔU=W+Q,可知,自A态至B态为吸热过程,故选项C对.对于D选项,可以用面积来表示对外做功的多少.从A态到C态面积约占5格[图9(a)];从C态到B态面积约占10格[图9(b)]).不难看出从A态到C态对外做功比从C态到B态做功少,故选项D错.

图9

通过本题的探究,我们发现在p-V图中压强随体积的变化图线与体积所围的面积表示对外做功的多少,这在热学中解决压强非线性变化下物体对外做功提供了一个求解的方法.

综上所述,图像中的“面积”在动力学、电学、热学中均有应用,尤其对题目中涉及某个物理量随另一个物理量非线性变化时,可以采用类比的思想使物体的复杂过程变得简单明了.这种思维方法在物理解题过程中是非常重要的.