价格合同博弈的最优解探析

应明幼，鲍务英，陈竞先，刘文魄

（1.东华大学 旭日工商管理学院，上海 200051；2.浙江工业大学 之江学院，杭州 310024）

0 引言

供应链中上下游企业之间最基本的关系要靠合同纽带维系，上下游企业之间双赢的博弈首先体现在合同的订立上：供应商和零售商分别以价格和批量为对策进行博弈，其中价格合同的形式最简单。但是当今关于供应链管理（SCM）的研究文献中真正从机理或定量模型着手研究合同模型的好文章并不多见。究其原因，一方面固然是因为研究问题特殊，另一方面则是由于人们对这个看来似乎很简单、似乎已为人研究得非常透彻的问题还有认识不清的地方，严重扭曲了研究成果。一个明显的例子就是对所谓的“双重边际效应(double marginalization)”的片面理解所导致的研究结果偏离实际。研究合同模型的经典文献如Cachon(1999)[1]和Lariviere(1999)[2]等都存在这样的问题。另一个主要原因是适用于合同模型研究的合作博弈问题却在博弈理论中缺乏讨论。因此，本文将在修正的双重边际效应前提下探讨价格合同模型的博弈最优解。

1 现有的研究价格合同的模型及成果

现有的讨论由报童模型着手，无短缺成本时，集制造与销售一体的系统的期望利润为

其中y、r、cM及 F(x)分别表示产品的产量、零售价、单位制造成本及需求分布，v为每件未卖出去的产品的残余价值。容易求得此问题的解——最优生产批量和相应利润分别为：

如该系统变成由独立的制造商与零售商组成的分工系统，r、cM及F(x)保持不变，零售商以批发价w从制造商那里购买y件产品，cM＜w＜r，则零售商的订货量和利润分别为：

根据Cachon等人的研究，显然有y(w)＜yI。即供应链系统的服务水平低于一体化系统。这个现象在供应链管理中被他们诠释为“双重边际效应(double marginalization)”。很多论文都采用了相似的研究方法[[3][7]～[10]。

Chen（2005）[5]指出 Cachon等人的研究隐含了“零售成本为零”的假设，因此在讨论中应引入零售商的销售成本cSR。此时，零售商和供应商的利润为：

从而，当供应商给定批发价时，零售商的最优定购量为：

为了得到对双方都更有利的合同，文献[6]引进了理性博弈者假设：博弈双方在不降低自己利润前提下愿意改变各自的对策来提高系统的服务水平。于是(4)或(5)式的等号左边固定为某一常数时它们就分别表示零售商或制造商的对应于利润为该常数的等值线时的对策w和y之间的关系。他们证明了：零售商的利润等值线是严格凹函数而制造商的利润等值线是严格凸函数；在y-w平面上零售商的利润等值线越往下移动取值越大、制造商的利润等值线越往上移动取值越大。显然有：任意一条零售商的利润等值线与任意一条制造商的利润等值线的切点只要存在，它就是该博弈问题的一个平衡点，一般称为Pareto平衡点。并进一步证明，零售商和供应商的利润函数等值线的切点在一条垂直于横轴的线段上，而该线段则是博弈问题的Pareto均衡解集。

然而，Chen（2006）[6]尚未讨论 Pareto均衡的可达性以及如果Pareto均衡不可达，是否可以找到其他的最优解。

2 价格合同的最优解

从以上的理性博弈者假设出发，我们可以认为合同博弈的过程是一个“报价——还价——讨价——再还价——……直至定约”的过程，与寻常的市场上的讨价还价现象没有区别。但是，实质上我们要讨论的是在这个过程中如何报价最有理、如何还价最有理。显然我们可以把上述的博弈过程分为两个阶段来进行：第一阶段是零售商根据(6)式通过使自己的利润最大，找出相应于每个w如(10)式所示的最优订购量y(w)；第二阶段是制造商根据(7)式在第一阶段优化结果的约束下，通过使自己的利润最大找出最适宜的价格w*，由此得到的(y(w*),w*)即是价格合同博弈问题的最优解。于是新的问题转化为y(w*)是否等于ype？如果y(w*)＜ype，是否有可能作进一步的博弈使得ype成为可达的最优解？

Chen（2006）[6]认为只要有“适当的博弈规则”，每一轮谈判的结果不仅使订货量增大(即服务水平提高)，而且双方的利润都比前一轮谈判有所增加。最后在某个Pareto平衡点达成协议。遗憾的是这样的博弈规则不是价格合同的规则。

事实上，价格合同谈判结果的轨迹曲线CP是由零售商决定的，零售商在准备自己的订货对策时，零售商并不需要事先揣摩制造商可能给出的批发价，而是对每一个低于零售价与销售成本的差值而高于处理价v的批发价w事先准备好对策y(w)。因此我们先来讨论一些关于零售商的CP曲线的特殊意义，接着考察CP曲线上坐标为ype的点(即P点)的位置在过C点的制造商利润等值线的上方还是下方。如果P点在上方则价格合同的Pareto平衡点最优解是可达的；否则价格合同的最优解就不可能实现系统的最优（图1）。

由以上论述，我们可知轨迹曲线CP的函数表达式为：

很明显，CP并非严格凸曲线，它具有三个性质：（1）在定义域内单调递减；（2）y足够大时，它是严格凹曲线；（3）在区间|y0,ype|上，CP曲线函数一定存在有限个极大值和极小值。为方便讨论，我们暂时将CP看作图2所示的凹曲线。

对CP上的任意一点(不妨就取C点为例)都可画出一条制造商的利润等值线和一条零售商的利润等值线(如图2所示)，容易证明在C点上零售商的利润等值线的导数dw/dy=0，即在几何意义上C点是零售商的利润等值线的最高点，而在博弈意义上当零售商的利润固定在ΠR(w0,y0)=(r-w0-)y0-(r-v)(x)dx时C点的批发价坐标w0是的零售商可以忍受的最高批发价。

设初始谈判结束时在C点达成协议，于是过C点有供应商和零售商的两条利润等值线，分别为：

令供应商利润等值线、零售商利润等值线和CP曲线在y=ype时的 w 坐标值分别为 w1p、w2p和 wgp。 由(8)、(9)、(10)三式容易得到：

然后我们利用不等式的性质和积分中值定理可以得到：

从而 wgp＜w1p＜w2p。

关系wgp＜w1p表明价格合同的最优解不可能在Pareto平衡点上实现，而关系w1p＜w2p又表明在有分工优势的供应链系统中Pareto平衡点可以是制造商与零售商合同博弈问题的可行解。这两点告诉我们价格合同博弈机制不是合同博弈问题的最好机制。

由于制造商的利润等值线是严格凸的函数且越往上移动所代表的利润越高，若CP曲线是严格凹的，则必有一条制造商的利润等值线与CP相切，它们的切点就是价格合同的最优解。如果CP曲线不是严格凹的，那么它在闭区间[y0,ype]上也是是局部的凹函数且必然存在有限个极大值，因此可以找到有限条与CP曲线相切的制造商的利润等值线，它们之中最靠近C点的切点就是价格合同问题的局部最优解，也是均衡点。图3可以清晰地表示价格合同问题均衡点的几何意义。在谈判过程中供应商逐步降价，当谈判沿轨CP进行到离C点最近的切点O时，继续降价将有损供应商既得的利润，此时双方应在O点订立合同。因此，价格合同的全局最优解即使达不到，它的一个局部最优解也将成为唯一的均衡点(w*，y*)。令此均衡点为，它必然满足方程组(11)

此时，零售商和制造商的利润分别由公式(12)中的两个表达式给出：

3 讨论

首先讨论的第一个问题是制造商的定价与需求信息共享的关系。从以上的分析我们可以知道价格合同的均衡点在实际的谈判操作中是唯一的，制造商随意定价并不符合自身利益。最优批发价不仅依赖于零售价、回收价和制造商成本这些已知参数，而且还与需求分布、最优订货量密切相关。后面这两个因素中，一个是零售商的对策，另一个是零售商掌握的信息。因此，要实现最优价格合同即制造商实现最优定价只有三条途径：第一条途径是制造商开始时开价略高一些，然后一边不厌其繁地逐次一点点、一点点降价，一边不停地计算自己的利润并琢磨是否利润是否到达顶峰。由于价格合同的博弈机制决定了制造商采用这种方法谈判在批发价降至均衡点前制造商的利润是递增的，过了均衡点后制造商的利润才递减；又由于每次降价的幅度很小，因此可以保证在很接近均衡点的地方订立价格合同。但是这个均衡点有可能是局部最优解。第二条途径的降价幅度比第一种方法要大些，然后根据谈判结果得到的一系列订货量数据来推断需求分布，从而可以找到全局最优解。但是这种方法技术要求很高但推断精度不一定高，不易为一般人掌握。第三条途径要求零售商提供需求分布。由于价格合同的全局最优解具有双赢的平衡点的性质，共享信息对合同双方都是有利的。

其次要讨论的问题是本文在价格合同问题上得到的研究成果的推广意义。在研究批量折扣合同时，我们发现供应商在等利润前提下给出的批量折扣政策将会激励零售商把定购量提升到ype，此时Pareto均衡是可达的。因此，我们相信在不同的博弈规则下，合作博弈的机制和最优解的形式是完全不同的，不同形式的合同博弈问题是值得分别研究的。本文旨在研究合同博弈问题中最简单的价格合同，其它形式的合同博弈问题都要比它复杂，但是在研究回购合同和数量柔性合同等的博弈问题时，本文所提出的用利润等值线结合两阶段规划模型的分析方法是行之有效的。

4 结束语

本文详细讨论了价格合同博弈的最优解，发现价格合同的均衡点唯一存在但是有可能是局部最优解且不是系统Pareto平衡点；继而讨论了两个与价格合同最优解有关的问题。虽然本文只研究了最简单的合同形式，但是文中提出的用利润等值线结合两阶段规划模型的研究方法适用于其他的供应链合同形式。

[1]Cachon,G P.Competitive Supply Chain Inventory Management[C].Quantitative Models for Supply Chain Management，1999.

[2]Lariviere,M.A.Supply Chain Contracting and Coordination with Stochastic Demand[C].Quantitative Models for Supply Chain Management，1999.

[3]Cachon,G.P.,Kök,A.G.Implementation of Newsvendor Model With Clearance Pricing:How to(and How Not to)Estimate a Salvage Value[J].Management Science,2007,9(3).

[4]程玉红.基于合作博弈的合同模型探讨[D].上海：东华大学，2005.

[5]Chen,Z H.,Liu,W P.,Chen,J X.Pareto Equilibriums of a Priceonly Contract Game[C].Proceedings of International Conference on Logistics and Supply Chain Management,5～7 Jan,2006.

[6]Liu,W P.,Cheng,Y H.,Xie,Z M.,Chen,J X.Exploring the Gaming Mechanism for A Price-only Contract[C].The 12th International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management(IE&EM)，2005,(6～8).

[7]Li,J L.,Liu,L W.Supply Chain Coordination with Quantity Discount Policy[J].International Journal of Production Economics,2006,101.

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[10]Bernstein.F.,Federgruen,A. Decentralized Supply Chains with Competing Retailers Under Demand Uncertainty[J].Management Science,2005,51(1).