一种与蒙特卡罗法及JC法相结合的响应面法

丘晋文

目前,结构可靠性分析中大多数方法如数值积分法和一次二阶矩法及其改进方法等针对功能函数都是明确表达的,而实际工程中,由于结构本身构造复杂,作用形式多样,往往不能给出功能函数的明确表达式,若直接应用上述方法进行结构可靠度分析就会遇见困难。响应面方法就是用来处理这种结构功能函数不能明确表达的一种有效方法。运用响应面法进行结构可靠度分析时,计算可靠指标有几种方法:1)结合JC法。2)结合几何法。3)结合蒙特卡罗法直接进行数值模拟。本文简要介绍响应面法、蒙特卡罗法和JC法,然后提出了一种与蒙特卡罗法和JC法相结合的响应面技术,并结合数值算例说明具体应用。

1 响应面法

响应面法(Response Surface Method)是处理结构功能函数不能明确表达的一种有效方法。该方法采用有限的试验通过回归拟合解析表达式¯Z=¯g(X)代替真实功能函数曲面 Z=g(X),通过响应面法,可将功能函数近似表示为随机变量的显式,再结合其他计算可靠度的方法进行结构可靠度计算。对n个随机变量X1,…,Xn的情况,通常采用不含交叉项的二次多项式形式:

其中,a,bi,ci均为表达式的待定系数。从响应面函数表达式可以看出,如果考虑n个随机变量,则有m=2n+1个待定系数。要得到待定系数,需要取一定的状态进行试验或者有限元分析。拟合的响应面是否为真实曲面的较好近似,目前比较好的方法是在验算点附近展开的响应面比较接近真实的曲面。

2 蒙特卡罗法

蒙特卡罗法(Monte-Carlo Method),又称统计试验法或随机抽样技巧方法。此方法是一种数值模拟方法,其过程如下:

设结构功能函数为Z=g(X1,…,Xn),Xi(i=1,…,n)为任意分布的随机变量,对Xi(i=1,…,n)进行 N次随机抽样,得 N组(j=1,…,N),将第 j组(j=1,…,N)的(i=1,…,n)的值代入结构功能函数式,得到 N个Zj值(j=1,…,N),设在N个中存在0,则结构构件的失效概率为

3 JC法

JC法是解决结构构件功能函数由独立任意分布基本随机变量构成时结构可靠指标计算问题。JC法的基本思路是对非正态基本随机变量作当量正态化处理,将其转换为等效正态随机变量,然后用改进的一次二阶矩法求结构可靠指标,其计算步骤如下:6)以新的,重复步骤 2)～5),直到前后两次算出的β值之差小于容许误差。

其中,φ(),Φ()分别为标准正态分布密度函数及分布函数;fXi(),FXi()分别为非正态变量Xi的分布密度函数及分布函数;μi′,σi′分别为等效正态随机变量Xi′的均值和均方差。若结构功能函数由相关基本随机变量构成,要将相关变量转换为独立变量,然后再利用JC法计算结构可靠指标。

4 与蒙特卡罗法和JC法相结合的响应面法

1)对 n个随机变量X1,…,Xn的情况,通常采用不含交叉项的二次多项式形式:

其中,a,bi,ci分别为表达式的待定和修正系数。假定迭代点),初次计算一般取均值点。

2)利用试验(复杂结构的可靠度分析一般采用数值模拟试验,如有限元计算)计算功能函数Z=g(,…,,…)以及Z=g(,…±fσi,…,)得到(2n+1)个点估计值,其中系数 f在第一轮估计中取 3(根据工程中的 3σ原则),在以后的迭代计算中取1,σi为随机变量Xi的均方差。

3)由于表达式只有(2n+1)个待定系数,利用2)求得(2n+1)个函数值解出待定系数a,bi,ci,从而确定结构的功能函数。

4)利用蒙特卡罗法求解可靠度指标β(k),并利用此可靠度指标β(k)采用JC法计算出此极限状态方程下的验算点X*(k),其中上标k表示第k次计算。

判断收敛条件:｜β(k)-β(k+1)｜＜ε(ε为收敛精度),满足则停止迭代,否则用插值法得到:

这种与蒙特卡罗法和JC法相结合的响应面法,具有响应面法可解决功能函数不能明确表达的优点和蒙特卡罗法模拟相对精确的优点以及JC法计算验算点的优点,具有方法上的正确性和可行性、较高的计算效率和精度。下面结合算例说明其应用。

5 算例

图1为门式平面框架,各单元的弹性模量为 E=2.0×106kN/m2,截面惯性矩与截面积的关系为 Ii=(i=1,2)。以节点3的水平位移作为需控制的结构最大变形,可建立极限状态方程:

其中,[u]为允许的最大水平位移,此处可取[u]=0.01 m;u3与随机变量A1,A2以及P的关系不能用明确表达式表达。

通过自编程序用表1中的几种方法进行计算,应用本文的方法共迭代8次,其中直接使用笔者编制的确定性平面框架结构分析程序共进行了56次运算,计算结果及与其他方法对比见表1。

同时笔者研究计算表明,可靠指标越大,失效概率越小,本文方法就越接近精确值。

表1 计算结果

6 结语

对于工程中常见的功能函数不能明确表达的情况,采用响应面方法结合蒙特卡罗法和JC法,本文提出了一种迭代格式的响应面法,通过数值计算表明本文方法正确性和可行性,有一定的广泛性和较好的实用性,也可为研究人员和工程师提供一定的启示。

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