基于不同分布的岩石损伤本构模型的比较

岳 洋

目前,岩石材料损伤力学研究的方法主要有:1)应用连续介质损伤力学,以内变量的方法从宏观上处理损伤问题;2)从唯象学角度出发并根据统计分布理论,假设损伤参量服从某种分布,导出岩石损伤方程。显然,后一种办法所得结果更加合理。近年来,由于统计损伤理论的引入,使得岩石本构关系的研究取得了一定程度的突破。国内学者唐春安[2]、曹文贵[3-5]、徐卫亚[6]、许江[7,8]等均在这方面进行过研究,促进了岩石统计损伤力学的发展。本文基于应变强度理论,分别假定岩石微元强度服从Weibull分布和幂函数分布,建立了基于两种分布的岩石损伤本构模型,用实测试验资料对其进行了验证,并对两种模型进行了比较分析。

1 两种损伤模型的建立

1.1 基于Weibull分布的损伤模型的建立

假定岩石微元强度服从Weibull分布,其概率密度函数为[2]:

其中,P(ε)为岩石微元强度分布函数;ε为微元强度随机分布的分布变量;m,ε0均为分布参数。

假设某一级荷载下已破坏的微元数目为n,定义统计损伤变量D为已破坏的微元体数目与总微元数目N之比。则:

其中,D为岩石损伤变量;n为某级荷载下已破坏的微元数目;N为无损岩石材料的总微元数目。

当加载到某一水平F时,破坏的微元数目为:

假定岩石微元破坏前服从广义虎克定律,由连续介质损伤力学理论可得如下本构关系[2]:

其中,E,ε分别为无损岩石的弹性模量和应变量。

将式(4)代入式(5),根据广义虎克定律,可以得到基于Weibull分布的三维应力作用下岩石损伤统计本构模型为:

1.2 基于幂函数分布的损伤模型的建立

假定岩石微元强度服从幂函数分布,其概率密度函数为[5]:

将式(9)代入式(5),根据广义虎克定律,可以得到基于幂函数分布的三维应力作用下岩石损伤统计本构模型为:

1.3 分布参数的确定

式(6)和式(10)中的分布参数m和ε0可通过将两式两边取对数进行线性化处理[4]得到。式(6)和式(10)变形后可分别得到:

将式(11)两边取两次自然对数,式(12)两边取自然对数,则有:

显然,式(13)和式(14)为线性关系式。其中,m为直线斜率;-mlnε0为截距,则很容易将试验数据通过线性拟合的方法求得m 和ε0。

2 损伤模型的验证

为了对上面所建立的基于两种分布的岩石损伤本构模型进行比较,引用文献[9]的试验资料对其进行了验证分析。岩石弹性模量 E=90 GPa,泊松比υ=0.15,内摩擦角φ=31.303 9°。

将弹性模量E、泊松比υ及各围压下的试验资料代入到式(13)和式(14)中进行线性化处理即可得到各围压下的分布参数m和ε0,分别如表1,表2所示。

表1 基于Weibull分布的模型不同围压时的分布参数值

将表1,表2中各围压时的分布参数 m,ε0以及实测试验数据分别代入到式(6)和式(10)即可得到基于Weibull分布和幂函数分布的岩石破坏过程中的理论本构曲线。试验曲线和本文两种理论曲线的对比图如图1所示。

表2 基于幂函数分布的模型不同围压时的分布参数值

由图1可以看出:在试验前半部分,特别是在岩石变形的弹性阶段,本文两个模型的理论曲线均与试验曲线有着较高的吻合度。而从塑性变形阶段开始,两个模型的理论曲线与试验曲线之间的差别开始加大。但相比较而言,基于Weibull分布的模型曲线比基于幂函数分布的模型曲线与试验曲线的匹配程度要好得多。特别是到试验的最后阶段,岩石强度接近于残余强度的时候,基于幂函数分布的理论模型已经不能够再反映岩石强度的变化情况。而基于Weibull分布的模型不会出现这种情况。岩石变形破坏过程中,两种模型损伤变量D变化情况如图2所示。

因此,从岩石变形破坏的全过程来看,基于Weibull分布的理论模型显然要优于基于幂函数分布的理论模型。

3 结语

1)在岩石变形的弹性阶段,两个模型的理论曲线均与试验曲线有着较高的吻合度;

2)从塑性变形阶段开始,两个模型的理论曲线与试验曲线之间的差别开始加大。相比较而言,基于Weibull分布的模型曲线比基于幂函数分布的模型曲线与试验曲线的匹配程度要好得多;

3)在岩石强度接近于残余强度的时候,基于幂函数分布的理论模型的损伤变量D会出现大于1的情况,从而导致此时岩石强度的理论计算值出现负值,而基于Weibull分布的模型不会出现这种情况。

[1] 杨圣奇,徐卫亚,韦立德,等.单轴压缩下岩石损伤统计本构模型与试验研究[J].河海大学学报(自然科学版),2004,32(2):200-203.

[2] 唐春安.岩石破裂过程中的灾变[M].北京:煤炭工业出版社,1993.

[3] 曹文贵,张 升.基于Mohr-Coulomb准则的岩石损伤统计分析方法研究[J].湖南大学学报(自然科学版),2005,32(1):43-47.

[4] 曹文贵,方祖烈,唐学军.岩石损伤软化统计本构模型之研究[J].岩石力学与工程学报,1998,17(6):628-633.

[5] 刘成学,杨林德,曹文贵.岩石统计损伤软化本构模型及其参数反演[J].地下空间与工程学报,2007,3(3):453-457.

[6] 徐卫亚,韦立德.岩石损伤统计本构模型的研究[J].岩石力学与工程学报,2002,21(6):787-791.

[7] 许 江,李树春,刘延保,等.基于 Drucker-Prager准则的岩石损伤本构模型[J].西南交通大学学报,2007,42(3):278-282.[8] 李树春,许 江,李克钢.基于初始损伤系数修正的岩石损伤统计本构模型[J].四川大学学报(工程科学版),2007,39(6):41-44.

[9] 耶格J C,库克N G W.岩石力学基础[M].中国科学院工程力学研究所,译.北京:科学出版社,1983.