滑移线积分变换在土坡稳定性中的应用

王 军，曹 平

（1.湖南工程学院建筑工程学院，湘潭 411104；2.中南大学资源与安全工程学院，长沙 410083）

滑移线积分变换在土坡稳定性中的应用

王 军1，曹 平2

（1.湖南工程学院建筑工程学院，湘潭 411104；2.中南大学资源与安全工程学院，长沙 410083）

根据边坡变形潜在滑体势能变换的特点，用Bishop法、耗散能法和有限单元法分别对双层和3层土质边坡进行了稳定性分析。首先通过对边坡滑移线积分公式的转化和推导，建立了以势能耗散能量表示的改进极限平衡法求解安全系数的计算式。结合平面应变两类型边坡算例分析，并利用VC++程序语言编制简易的安全系数和滑移线方程的求解程序，对双层和3层土质边坡稳定性进行计算分析。计算结果显示：耗散能法得到的潜在滑移线解析式满足指数方程，且在层面附近间断；Bishop法得到的潜在滑移线经过坡脚，其解析式满足圆方程；耗散能法所得安全系数介于Bishop法和有限元法之间，为研究边坡稳定性和工程加固的合理范围提供了借鉴，这对极限平衡法求解边坡稳定性也是一种有益的补充。

边坡工程；耗散能法；安全系数；积分变换

1 概 述

边坡是岩土工程中最常见的构筑物形式之一，应用于交通土建、基坑、水利和矿山等工程的建设，也是岩土工程中研究的重要内容之一，其中土质边坡又占了很大的比例。目前对于土质边坡的稳定性已有了相当广泛的研究，并获得了众多研究成果，能够对边坡稳定性做出合理的安全评价和安全系数的解答［1-3］。安全系数是评价边坡稳定性的重要参量，其定义较为被公认和应用较多的有3种形式：强度储备安全系数；超载储备安全系数和下滑力超载储备安全系数，且以第一种应用最广泛。

评价边坡稳定性常用的方法有极限平衡法、极限分析法、数值计算法、智能算法和工程类比法，大都是基于各种假定搜索滑移线和求解安全系数。然而能量法作为一种全局动态变化，计算获取滑移线和安全系数等优点已被应用。罗一忠［4］利用耗散能原理和有限元技术对工程边坡稳定性进行了合理的评价；朱青山［5］利用能量守衡原理研究爆破震动下露天节理岩质边坡的稳定性与监测结果相吻合；赵进勇等［6］利用干扰能量和非线性有限元技术对长江下游某岸坡进行了模拟，计算结果与实测相符合等等，很多研究学者都是结合了数值技术。本文根据边坡工程潜在滑体滑动的特点，在滑动过程中，沿轨迹边坡的滑体其形状在不断地变化，且在滑移线两侧岩土介质也不满足协调条件，并结合极限法和能量转换规律公式推导求解边坡的安全系数，并搜索其潜在的滑移线，其物理意义直观，参数容易获取，所得结果具有较大的工程意义和学术价值。

2 基于能量转换的安全系数

边坡稳定性的求解问题主要是得到潜在滑移线和安全系数，目前广大科研工作者对安全系数的求解大都基于强度折减法，对滑移线上土体的实际抗剪强度进行折减，使之达到极限平衡状态，用式（1）表示［7］：

式中：Fs为折减系数，τf为滑移线上土的抗剪强度，τ为潜在滑移线上土的实际剪应力，l为滑动弧长，φ为内摩擦角，c为粘结力，φ′为边坡达到临界破坏时的内摩擦角，c′为边坡到达临界破坏时的粘结力，Fs为折减系数，在临界破坏时，即为安全系数。

根据边坡工程潜在滑体滑动变形的特点，起先该滑体具有最大的势能和最大初始摩阻力，这是滑体自重和滑移线上摩擦阻力提供的，文中称为耗散能。然而滑体在滑动过程中，其势能逐渐转化为动能，剩余耗散能和剩余势能（滑体重心对于参考面），文中不考虑构造应力和最终剩余势能的影响，利用文献安全系数的定义，表达式为

式中：K为安全系数；U为滑体沿滑移线的总耗散能（主要提供阻滑作用）；π为滑体的初始总自重势能。

根据总耗散能与总自重势能的关系，安全系数满足如下关系：

当总耗散能等于总自重势能时，边坡处于极限平衡状态；当安全系数K＞1时，边坡处于稳定状态；当安全系数K＜1时，边坡处于失稳状态；当安全系数K＝1时，边坡处于极限状态。

又根据能量耗散定义（这里指滑动面上摩擦力耗掉的能量），得

式中：ni为沿滑动线的单位切向向量；f为矢量，表示为剩余阻力；i为划分的条块数，其表达式为

式中：W为滑体的总自重，α为滑移线与水平面的夹角。

图1 耗散能法计算示意图Fig.1 Sketch on energy dissipation method

图1 中：γi，ci，φi分别为第i层土的重度，粘结力和内摩擦角；hi为第i层土的计算边界高度；fi（x）为第i级坡面的方程；gi（x）为第i层土分界面的方程；y＝f（x）为滑移线的方程。

其中，耗散能沿滑移线的积分表达式为

根据对坐标曲线积分的转化关系，则式（6）改写为对坐标的积分关系式

根据边坡土体的分布情况，由式（10）到（13）计算得到的滑移线切割边坡土体时，应分别对多层土质边坡所划分条块的重量（为重度与其包围面积的乘积）进行求解。

边坡滑体的初始总自重势能为

式中：L为边坡滑体形心的高度；Li为分条块的形心高度；h为被滑移线所包围的土层数。

结合式（6）、（7）和（8）得出安全系数为滑移线坐标的函数解析式为

式中y＝f（x）为潜在滑动线的函数表达式。

根据式（11）和式（13）可知，针对不同的滑移线，边坡的安全系数不一样。

3 多层土质边坡的算例分析

本文就双层和3层土质边坡的稳定性对边坡的潜在滑移线方程和安全系数的求解进行了简易程序WJED的编写。文中计算分别对双层和3层土质边坡用Bishop法、有限元法和能量耗散法进行了比较分析（为节省篇幅，本文仅对以上2种情况作比较分析，另外Bishop法和有限差分法的计算过程将另外行文，本节省略）。

采用耗散能法对双层和3层土质边坡进行稳定性分析时，边坡的分层高度分别为h1＝10 m，h2＝10 m，总高度H＝30 m，坡顶和坡脚距左右边界的距离均为20 m，其边坡计算范围和力学参数见图2和图3。

首先对双层土质边坡经Bishop法、有限元法和耗散能法计算，滑移线的函数式为：

图2 双层土坡计算结果图Fig.2 Calculated results of double-layer soil slope

图3 3层土坡计算结果图Fig.3 Calculated results of three-layer soil slope

再对3层土质边坡经Bishop法、有限元法和耗散能法计算，滑移线的函数式为：

比较分析可得，Bishop法所得出的滑移线满足圆的方程，耗散能法得出的滑移线呈分段形式，在层面附近发生间断，且其滑移线方程均满足指数方程。上述方法搜索其潜在滑移线在边坡的分布见图2和图3。

从图2和图3可知，耗散能法所得出的分段滑移线均介于Bishop法和有限单元法之间。安全系数的计算结果见表1。

表1 土质边坡安全系数的结果Table1 Results on safety factors

从表1安全系数的计算结果显示：Bishop法计算的安全系数为0.82，其值最小；有限单元法计算得到的安全系数为0.96，显最大值；耗散能法计算得到的安全系数为0.87，介于两方法之间，误差介于7%～17%，主要接近于Bishop法。表1安全系数的计算结果还显示：Bishop法计算的安全系数为0.75，其值最小；有限单元法计算得到的安全系数为0.89，显最大值；耗散能法计算得到的安全系数为0.79，介于两方法之间，误差介于10%～19%，也主要接近于Bishop法。主要是随着层数的增加，潜在滑体的势能快速变化，且耗散的能量也逐渐增加，导致安全系数减小。同时耗散能法没有考虑滑体内摩擦能量的损耗和滑体满足变形协调条件，这是耗散能法得到的安全系数介于Bishop法和有限单元法之间的原因所在。双层和3层土质边坡的算例均表明，本文方法对刚体极限平衡法是一种有效的改进，是极限平衡法求解边坡稳定性的有益补充。

4 结 论

（1）根据极限平衡法和边坡潜在滑移线上抗剪强度折减技术，基于重力势能耗散的特点，建立了改进的极限平衡法求解安全系数的定义式。

（2）通过对边坡潜在滑移线的积分变换，推出了边坡安全系数的计算式。对双层土质边坡进行了计算分析，其滑移线表达式满足指数方程。

（3）通过3种方法对双层和3层土质边坡安全系数的算例分析表明，耗散能法得到的安全系数是介于Bishop法和有限单元法之间，其边坡潜在滑移线也是介于Bishop法和有限单元法搜索的滑移线之间，计算结果与实际情况较吻合。

（4）针对多层岩土混合边坡三维分析的复杂性，将有待进一步研究。

［1］ 刘金龙，陈陆望.变形参数对边坡安全系数的影响［J］.长江科学院院报，2008，（1）：36-39.（LIU Jinlong，CHEN Lu-wang.Evaluation of effect of deformation parameters on slope stability［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2008，（1）：36-39.（in Chinese））

［2］ 谭晓惠，王建国，王 印.边坡稳定的非线性有限元分析［J］.岩土力学，2008，29（8）：2047-2050.（TAN Xiao-hui，WANG Jian-guo，WANG Yin.Nonlinear finite element analysis of slope stability［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29（8）：2047-2050.（in Chinese））

［3］ 邹 沫，段亚辉.土质边坡稳定安全系数影响因素的正交试验分析［J］.中国农村水利水电，2006，（6）：73-75.（ZOU Mu，DUAN Ya-hui.Orthogonal test anal-ysis of safety coefficient influencing factors for soil slope stability［J］.China Rural Water and Hydropower，2006，（6）：73-75.（in Chinese））

［4］ 罗一忠.边坡稳定性分析中的能量法及其工程应用［J］.中国锰业，1998，（3）：12-15.（LUO Yi-zhong.Energymethod in slope stability analysis and its applied engineering examples［J］.China’sManganese Industry，1998，（3）：12-15.（in Chinese））

［5］ 朱青山.爆破震动下露天矿台阶边坡稳定性能量分析法［J］.金属矿山，2005，（9）：14-17.（ZHU Qing-shan.Energy analysis approach for stability of open-pit bench slopes subjected to blast vibration［J］.Metal Mine，2005，（9）：14-17.（in Chinese））

［6］ 赵进勇，章 青，邵国建，等.用干扰能量法模拟边坡失稳过程［J］.岩土工程学报，2002，24（3）：367-370.（ZHAO Jin-yong，ZHANGQing，SHAO Jian-guo，etal.The unstabilization process of slope simulated by disturbing energymethod［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24（3）：367-370.（in Chinese））

［7］ ZIENKIEWICZ O C，HUMPHESON C，LEWISE R W.Associated and non-associated Visco-plasticity and plasticity in soil mechanics［J］.Geotechnical Engineering，ASCE，1975，25（4）：671-689.

（编辑：赵卫兵）

Application of Integral Transformation to Slip Line in Soil Slope Stability

WANG Jun1，CAO Ping2
（1.College of Architecture Engineering，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan 411104，China；2.School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，China）

From the character of energy transformation on slope sliding curve，the stability analysis on double-and three-layer soil slope is calculated in order to take in energy dissipationmethod gaining an advantage over other calculated methods，including Bishop method and finite elementmethod.Through the derivation of integral transform on slip line，the safety factor formula is built based onmodified limit equilibrium method to sliding curve，and the slip line formula is also obtained by limit safety factor value on differential coefficientof the slope safety factor equation.The slope examples on 2D strain are cited to validate the reliability on energy dissipationmethod.TheWJED program for calculating safety factor and sliding line equation is firstly applied to evaluate stability for double-and three-layer soil slopes.The results show the parse formula for latent sliding curve accordswith exponential equation for energy dissipation method and coincideswith circle equation for Bishop method.Simultaneously，the safety factor for energy dissipation is one between two values obtained from Bishop method and finite differencemethod respectively.The experience on slope reinforcement engineering and its stability is obtained and the energy dissipation method is a supplement in the limit equilibrium method.

slope engineering；energy dissipation method；safety factor；integral transformation

TU441.35

A

1001-5485（2010）08-0054-04

2009-11-16

国家自然科学基金资助项目（10972238，50774093）

王 军（1978-），男，湖南澧县人，博士，主要从事岩土力学与工程的科研与教学工作，（电话）13787420570（电子信箱）csufjwj＠126.com。