频率选择性衰落MIMO信道容量分析*

(空军航空大学 航空理论系，长春 130022)

1 引 言

近年来，随着蜂窝移动通信、因特网和多媒体业务的发展，世界范围内对无线通信的容量需求正在迅速增长。但无线通信可利用的无线频谱资源是有限的，如果频谱的利用率没有得到显著提高，就不可能满足人们对通信容量的需求。在单天线(SISO)链路系统中，采用先进的编码(例如Turbo码[1]和低密度奇偶校验码[2])可以使系统容量接近香农容量极限。多天线或多入多出(MIMO)系统在无需增加额外的信号带宽和发射功率的前提下，通过增加发射端和接收端的天线数量，可以进一步显著提高频谱利用率，从而增加无线通信系统的容量[3～5]。

理论上已证明，多天线的信道容量随天线个数的增加而线性增加，极大地提高了信道容量。该结论是在假定信号的带宽足够窄以及信道的频率响应是准静态平坦衰落下得到的。但在实际的无线通信系统中，随着传输速率越来越高，信号所占用的带宽越来越宽，因而实际的信道呈现出频率选择性衰落特性[6]。本文采用频域和时域的方法对比研究了在频率选择性衰落下，发射端已知和未知信道状态信息的MIMO信道容量，并给出了相关的仿真结果。研究结果表明：在相同发射功率和传输带宽下，对于频率选择性衰落的MIMO系统可以不牺牲信号带宽而显著提高信道的容量，并且天线数量和输入信噪比的大小对信道容量具有不同的影响。研究结果为如何提高频率选择性衰落环境下MIMO信道容量提供了依据。

2 频率选择性衰落MIMO信道模型

图1 频率选择性衰落MIMO信道模型Fig.1 MIMO channel model under frequency selective fading

频率选择性衰落信道可以模型化为抽头延迟线，图1为频率选择性衰落环境下通用空时通信系统的模型。假定系统包含M个发射天线和N个接收天线。对于采样时刻i，MIMO系统的输入为xi=[x1,i,x2,i,…,xM,i]，输出为yi=[y1,i,y2,i,…,yN,i]，频率选择性衰落信道的系统噪声zi=[z1,i,z2,i,…,zN,i]为加性高斯白噪声，并且和用户的发送信息独立。用户发送信息通过的频率选择性衰落信道Ht可以表示为

(1)

式中，Nc+1是多径信道数，hm,n,k是从发射天线m到接收天线n的第k个多径信道系数。

假定系统在一个符号的Nb个采样间隔内连续发射信息，信道抽头系数初始化为零。定义1×NbM维的天线发送信息矢量x=[xNb,xNb-1,…,x1]，1×NbN维的天线接收矢量y=[yNb,yNb-1,…,y1]和1×NbN维噪声矢量z=[zNb,zNb-1,…,z1]。它们的相关矩阵分别为Rx=E[xTx]、Ry=E[yTy]和Rz=E[zTz]。

天线的接收矢量可以表示为

y=xH+z

(2)

下面将讨论发射端已知或未知信道信息的频率选择性衰落MIMO信道容量。

3 未知信道信息的MIMO信道容量

在发送端未知信道信息的情况下，根据信息论原理，宽带MIMO信道的归一化容量由下式给出：

(3)

式中，符号h(·)代表熵微分(表示信息熵)。

在给定发送信息x的情况下，接收信号y的条件熵为

h(y|x)=h(xH+z|x)=h(z)=(1/2)log2((2πe)NNb|Rz|)

(4)

根据式(4)，为了使信道容量达到最大，接收信息y的熵h(y)必须最大。当发送信息x为独立同分布的联合高斯分布时，接收信息y与x同分布，此时对于一个给定的接收信息相关矩阵Ry，h(y)取最大值。于是，接收信息y的熵为

假定所有天线的总发射功率为P，由于发送信息矢量x服从独立同分布的联合高斯分布，Rx可由下式给出：

(6)

因此发送端未知信道信息时，宽带MIMO信道的归一化容量可以进一步表示为

如果假定噪声矢量z为独立同分布的高斯噪声，并且噪声方差为σ2，则Rz可以表示为

Rz=σ2INNb

(8)

于是，信道容量可进一步改写为

(9)

(10)

于是可得频域子信道矩阵Hp(0≤p

(11)

发送端未知信道信息时，傅里叶变换法计算得到的宽带MIMO信道容量为

(12)

4 已知信道信息的MIMO信道容量

以下讨论在发送端已知信道信息(即发送端已知信道矩阵H和噪声的自相关函数矩阵Rz)时的宽带MIMO信道容量。根据信息论原理，信道容量为

(13)

给定发送信息x时，接收信息y的条件熵为

(14)

(15)

因此信道容量为

(16)

由于式(16)中指数函数是随自变量递增的函数，并且Rz与Rx独立，容量求解问题转化为在发送功率受限(Tr(Rx)=PNb)的条件下，寻找合适的Rx使得│HHRxH+Rz│最大。对噪声相关矩阵Rz进行Cholesky分解Rz=LLH，于是式(16)可等效为

式中，C=HL-H。

式(17)可进一步转化为

(18)

上式可等效为

式中，Rw=UHRxU。

考虑到发送功率受限Tr(Rx)=PNb，矩阵Rw的迹可以表示为

Tr(Rw)=Tr(UHRxU)=Tr(Rx)=PNb

(20)

式(20)表明，x与w具有相等的功率，它们之间仅有一个缩放比例的效果。因此，容量求解问题进一步简化为在功率受限条件下Tr(Rw)=PNb，寻找矩阵Rw使得│SHRwS+I│最大，此问题可采用注水原理来求解。

当矩阵Rw为对角矩阵，且其对角线元素Rw(i,i)满足：

(21)

及

(22)

可使│SHRwS+I│达到最大。式(22)中，v是常数，函数(x)+代表：

(23)

从式(22)中可看出，矩阵Rw可以将更多的发射功率分配给信道增益大(即信道矩阵奇异值更大)的子信道。因此，发射端已知信道状态信息时，宽带MIMO信道容量可以表示为

(24)

式中，Rx=URwUH，或x=wUH，E[wHw]=Rw。

发送端已知信道信息时，频率选择性衰落MIMO信道容量也可采用频域方法计算[8]。对应于式(17)，第p条多径信道的矩阵Cp(0≤p

Cp=Hp(LP)-H=UpSp(Vp)H

(25)

根据式(25)，发送端已知信道信息时，使用频域方法计算得到的频率选择性衰落MIMO信道容量可以表示为

(26)

(27)

以及

(28)

式中，0≤p

5 仿真结果及分析

本文的仿真中总接收功率定义为所有发送天线到某一接收天线之间所有多径传送的信号功率总和，信噪比SNR定义为每根接收天线上的总接收功率与噪声方差σ2的比值。随着发送天线数的增加，为了保持发送SNR固定，所有发射天线发射的总功率仍旧保持不变。在未加说明的情况下，仿真环境所使用的信噪比SNR皆为20 dB，并且已知或未知信道信息都是指发射端。考虑到室内环境下，信道的均方根时延扩展的典型范围为40～200 ns，因此频率选择性衰落MIMO信道容量的仿真中选择输入信号的符号速率为2 MHz，可使室内环境下的信道经历频率选择性衰落。

图2为频率选择性衰落下，未知信道信息时，信道容量随接收天线数变化的情况。曲线之一是发射天线数M等于接收天线数N的MIMO信道容量，而另一曲线是发射天线数为1的SIMO信道的容量。从图中可以看出，频率选择性衰落环境下，MIMO信道容量随发射/接收天线数线性增长，这也证明了宽带MIMO系统在提高系统容量方面有着巨大的潜力。而SIMO信道容量随接收天线数呈近似对数缓慢增长。因此，尽管增加接收天线数可以提高信道容量，但是这种增长是有限的，除非同时增加发射天线的数量才能使信道容量大幅度提高。

图2 频率选择性衰落MIMO信道容量Fig.2 MIMO channel capacity under frequency selective fading

图3比较了未知信道信息时，分别使用时域和频域方法计算得到的宽带MIMO信道容量。以上两种方法中，均假定发射天线数等于接收天线数，并且Nb=Nf=16。两种方法得到的结果非常接近，容量差异不超过1.5%。这种差异可以解释为频域计算方法考虑了频率选择性衰落信道的所有抽头延迟线，而时域只考虑信道矩阵的最新的NcM行。

图3 不同计算方法得到的容量比较Fig.3 Channel capacity comparison using different methods

图4给出了频率选择性衰落时，MIMO信道容量随接收天线数的变化情况。图中比较了接收天线数等于发射天线数(N=M)和发射天线数固定等于4(M=4)两种情况的MIMO信道容量，前者的容量随接收天线的数线性增长，后者的容量则随接收天线数近似对数增长(与SIMO类似)。从图中还可看出发射端已知信道信息对MIMO信道容量的影响。当接收天线数大于或等于发射天线数时，发射端已知信道信息对信道容量的影响并不明显。这是由于这种情况下信道矩阵的秩等于发射天线数，并且改变发射信号的相关矩阵只会小幅度地提高信道容量。然而当M>N时，信道矩阵的秩小于发射天线数，这时信道信息可以明显提高信道容量的原因是发射天线可以进行选择性发射，天线发射的能量仅仅集中在状态好(信道矩阵的奇异值大)的子信道上。

图4 信道容量随接收天线数变化情况Fig.4 Channel capacity variety with number of receiving antennas

图5 信道容量随发射天线数变化情况Fig.5 Channel capacity variety with number of transmitting antennas

图5给出了发射天线数的变化对宽带MIMO信道容量的影响。从图中可以看出，对于接收天线数固定(N=4)的情况，当M>4时，MIMO信道表现为发射分集，其容量随发射天线数近似对数增长。并且,由于信道矩阵的秩小于发射天线数，发射端已知信道信息对信道容量的影响比较显著。而当M<4时，N=4的容量大于M=N时的MIMO信道容量，这是由于前者的接收天线数多于后者，从而为信道提供了额外的接收分集。

图6给出了当发射天线数等于接收天线数(M=N=4)时，频率选择性衰落MIMO信道的容量随信噪比变化的情况。结果表明：低信噪比时，发射端已知信道信息对信道容量的影响比高信噪比时效果明显。当SNR=0 dB时，信道容量提高约32.5%，而当SNR=20 dB时，提高约只有1.4%。这是由于在高SNR时，系统噪声主要来源于符号间和信道间干扰，增加某一个子信道的信号能量将会大大影响其它子信道的性能，因此注水原理的作用将大大减小。然而在低SNR时，加性噪声起主导作用，注水原理将更多发射能量分配给性能好(信道矩阵的奇异值大)的子信道，以获得更高信道容量的同时而不显著影响其它信道的性能。

图6 信噪比对信道容量的影响(M=N=4)Fig.6 Effect of SNR on channel capacity transmitting antennas (M=N=4)

6 结 论

根据以上的分析和仿真，对于频率选择性衰落的MIMO信道容量可以得出以下结论：

(1)当发射天线数M等于接收天线数N时，MIMO信道容量随M或N线性增长；

(2)当M>N且发射端已知信道信息时，MIMO系统表现为发射分集，MIMO信道容量随(M-N)近似对数增长；

(3)当N>M时，MIMO系统表现为接收分集，MIMO信道容量随(N-M)近似对数增长；

(4)发射端未知信道信息时，接收分集的性能优于发射分集；

(5)发射端已知信道信息时，发射分集的性能等效于接收分集；

(6)当发射端已知信道信息时，小信噪比输入系统所增加的MIMO信道容量率高于大信噪比输入系统。

根据以上对频率选择性衰落MIMO信道容量的分析可知：在不改变发射功率和传输带宽时，频率选择性衰落MIMO系统同样可以不牺牲信号带宽而显著提高信道的容量。该结论为未来如何提高频率选择性衰落环境下MIMO信道容量提供了依据。

参考文献：

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