强地震动估计中映射法四种映射原则的数学表达①

蔡辉腾，张 颖，蔡宗文，张锦福

（福建省地震局，福建福州 350003）

强地震动估计中映射法四种映射原则的数学表达①

蔡辉腾，张 颖，蔡宗文，张锦福

（福建省地震局，福建福州 350003）

运用数学语言对四种映射原则进行阐述，得到四种映射原则对应的数学映射关系；为方便地震动衰减关系转换数值计算设计了计算流程；并以美国西部为参考区，导出了云南地区的基岩水平向地震峰值加速度衰减关系。结果表明本文给出的四种数学映射关系和设计的数值计算流程在转换过程中是可行的，最小扭曲映射原则、最小扭曲可逆映射原则得出的结果在某种程度上要优于IR映射原则、IM映射原则得出的结果。

映射法；四种映射原则；数学映射关系；计算流程；地震动衰减

Abstract：Four mapping principles are illustrated by means of mathematical language to attain their corresponding mathematical mapping relations.The computing process is designed to facilitate the numerical computation of transformation for ground motion attenuation relation.Taking Western America as the reference area，the horizontal earthquake peak acceleration attenuation relation on bedrock in Yunnan is deduced.The results show that four mathematical mapping relations and the designed numerical computing process are feasible in the course of transformation.Besides，the results of minimal warping mapping principle and minimal warping reversible mapping principle are superior to results of IR mapping principle and IM mapping principle.

Key words：Mapping method；Four mapping principles；Mathematical mapping relation；Computing process；Ground motion attenuation

0 引言

合理估计地震动参数是地震工程中的重要课题之一。在有较多强震记录的地区一般采用经验方法建立地震动参数衰减关系；在缺少强震记录的我国大部分地区，现阶段一般采用映射法建立地震动参数衰减关系［1－5］。胡聿贤等曾给出四种映射原则，即IR映射原则、IM映射原则、最小扭曲映射原则、最小扭曲可逆映射原则［2］，为便于数值计算运用，作者尝试用数学语言对上述四种映射原则进行阐述。

1 映射原则概述

映射目的是要在参考区a区和研究区b区的一对地震烈度衰减关系内寻求映射地震对，即与衰减曲线a上的一个地震P（Ma，Ra）相对应的衰减曲线b上的一个地震Q（Mb，Rb）；也就是说，在a区发生一次震级为Ma的地震、在距离Ra处的地震烈度为I，在b区内与之相对应的是在发生多大的地震Mb、在什么距离Rb处的地震烈度亦为同一烈度I，用解析式表为

这里要求从两个给出的参数Ma和Ra求两个待定参数Mb和Rb，而条件却只有一个，即式（1），因此这样的对应点可以有无穷多个，因而还要有附加条件即映射原则，用解析式表为

联立求解式（1）和式（2），即可求得用下式表示的映射地震对：

2 四种映射原则数学表达

（1）IR映射原则

IR映射原则即等M映射原则，要求映射对的M相等，如图1（a）所示。映射原则解析式式（2）等价于式（5）

（2）IM映射原则

IM映射原则即等R映射原则，要求映射对的R相等，如图1（b）所示。映射原则解析式式（2）等价于式（6）

（3）最小扭曲映射原则

最小扭曲映射原则要求映射对间距离最短，如图1（c）所示，要使AB两点间距离最短，即AB线垂直于点B的切线。令∠BOD＝θ，则两映射点有如下关系：

可得映射原则解析式式（2）等价于式（8）

（4）最小扭曲可逆映射原则

图1 四种映射原则示意Fig.1 Diagrams of four mapping principles.

最小扭曲可逆映射原则要求映射对间距离最短，且从A映射到B与从B映射到A的映射对又是相同的。如图1（d）和图2所示。要满足上述两个条件，即要求映射对AB是对称映射，则两映射点有如下关系，其中OA和OB分别为点A和点B的切线：

图2 最小扭曲可逆映射原则细化图Fig.2 Detail drawing of minimal warping reversible mapping principle.

可得映射原则解析式式（2）等价于式（12）

3 映射法数值计算

映射法已知条件是a区的地震烈度衰减关系Ia＝fa（Ma，Ra）和地震动衰减关系lg Sa＝Ya（Ma，Ra），以及b区的地震烈度衰减关系Ib＝fb（Mb，Rb），目的是求b区的地震动衰减关系lg Sb＝Yb（Mb，Rb）。

3.1 数值计算流程

数值计算流程：

具体步骤如下：

（1）已知（Ia，Ma）求（Ra，Sa）。根据物理条件限制可设Ia＝6～12，间隔为1；Ma＝5～8，间隔为0.1；根据式Ia＝fa（Ma，Ra）和lg Sa＝Ya（Ma，Ra），可求的相应的Ra和Sa，并限制Ra＞0，不满足的去掉，可得一组（Ia，Ma，Ra，Sa）。

（2）求（Ib，Mb，Rb，Sb）。联立式（1）和式（2），其中式（2）据四种映射原则分别对应式（5）、式（6）、式（8）、式（12），可得（Mb，Rb），即式（3）和式（4）。值得一提的是，在结果（Mb，Rb）中应剔除Mb＜4或Rb＜0的组。结合映射法的假设：当Ia＝Ib，则Sa＝Sb，可得（Ib，Mb，Rb，Sb）。

（3）求lg Sb＝Yb（Mb，Rb）。在一般情况下，从这组数据（Sb，Mb，Rb）即可用回归方法求得适用于b区的地震动衰减关系。

3.2 算例

参考区选美国西部，研究区选云南地区。

3.2.1 参考区和研究区地震烈度衰减关系

美国西部地震烈度衰减关系本文选用Chandra［6］对美国圣安德烈斯地区1906－1966年间的10次地震的等震线资料研究结果，并根据Gutenberg和Richter（1956）的美国加州震级与震中烈度的关系式，将Chandra公式中的震中烈度换算成震级M。烈度衰减关系为

式中I为地震烈度；M为震级；R为震中距（单位：km）；σ为标准差。

云南地区地震烈度衰减关系选用汪素云等得到的云南地区地震烈度衰减关系［3］：

3.2.2 美国西部和云南地区基岩水平向地震加速度峰值衰减关系

地震动衰减关系的一般形式如下：

式中Sa代表峰值加速度，单位为cm／s2；C1、C2、C3、C4、C5和C6为衰减关系的系数；其余参数意义同上。

美国西部地区基岩水平向地震加速度峰值衰减关系选用俞言祥和汪素云［7－9］最新统计得出的美国西部基岩水平向地震加速度峰值衰减关系。

根据上述映射原则和数值计算流程，得到云南地区不同映射原则对应的基岩水平向地震加速度峰值衰减关系，转换标准差直接使用了美国西部的标准差。表1给出了参考区及转换得到的研究区的地震动衰减关系的系数及标准差。

图3 美国西部和云南地区烈度衰减关系比较Fig.3 Comparisons of intensity attenuation relation between Western American and Yunnan Area.

图4 云南地区不同映射原则的结果（长轴）Fig.4 Results for different mapping principles in Yunnan area（major axis）.

表1 衰减关系的系数及标准差

图5 云南地区不同映射原则的结果（短轴）Fig.5 Results for different mapping principles in Yunnan area（minor axis）.

图3给出了参考区（美国西部）和研究区（云南地区）烈度衰减关系的比较，图4和图5分别给出了参考区（美国西部）和研究区（云南地区）长轴和短轴基岩水平向地震加速度峰值衰减关系的比较。看出烈度衰减关系的下降速度美国西部高于云南地区，这一点在远场更为明显。基于该角度考虑，最小扭曲映射原则、最小扭曲可逆映射原则得出的结果更能体现本区烈度衰减关系的特征。

4 结语

本文运用数学语言对四种映射原则进行阐述，得到四种映射原则对应的数学映射关系；为方便地震动衰减关系转换的数值计算，给出了计算流程；并以美国西部为参考区，计算了云南地区的基岩水平向地震加速度峰值衰减关系。所得结果表明本文给出的四种数学映射关系和数值计算流程在转换过程中是可行的，最小扭曲映射原则、最小扭曲可逆映射原则得出的结果在某种程度上要优于IR映射原则、IM映射原则得出的结果。

［1］ 胡聿贤，张敏政.缺乏强震观测资料地区地震动参数的估算方法［J］.地震工程与工程振动，1984，4（1）：1－11.

［2］ 胡聿贤，周克森，阎秀杰.缺乏地震动加速度记录地区地震动估计的映射法［J］.地震工程与工程振动，1996，16（3）：1－10.

［3］ 汪素云，俞言祥，高阿甲，等.中国分区地震动衰减关系的确定［J］.中国地震，2000，16（2）：99－106.

［4］ 孙崇绍.西北黄土地区河谷城市地震动参数小区研究［J］.西北地震学报，2007，29（1）：3－11.

［5］ 唐丽华，李锰，王海涛.伽师－巴楚地区中强地震加速衰减关系研究［J］.西北地震学报，2007，29（4）：377－384.

［6］ Chandra U.Attenuation of intensities in the United States［J］.Bull.Seism.Soc.Amer.，1979，69（6）：2003－2024.

［7］ 俞言祥，汪素云.美国西部水平向基岩加速度反应谱衰减关系［A］∥新世纪地震工程与防震减灾［G］.北京：地震出版社，2002：559－565.

［8］ 俞言祥，汪素云.青藏高原东北地区水平向基岩加速度峰值与反应谱衰减关系［J］.地震学报，2004，26（6）：591－600.

［9］ 俞言祥，汪素云.中国东部和西部地区水平向基岩加速度反应谱衰减关系［J］.震灾防御技术，2006，1（3）：206－216.

Mathematical Representation for Four Mapping Principles of Mapping Method in Strong Ground Motion Evaluation

CAI Hui－teng，ZHANG Ying，CAI Zong－wen，ZHANG Jin－fu
（Earthquake Administration of Fujian Province，Fuzhou 350003，China）

P315.91

A

1000－0844（2010）04－0313－05

2009－05－06

地震科技联合基金资助（105087）

蔡辉腾（1982－），男（汉族），福建莆田人，工程师，硕士，主要从事地震工程方面的工作..