聚焦高等数学知识背景 审视高考数学创新题型

● (慈溪中学 浙江慈溪 315300)

聚焦高等数学知识背景审视高考数学创新题型

●史利明(慈溪中学 浙江慈溪 315300)

怎样使学生从高考复习的题海战术中走出来？怎样使高三后期复习更有针对性和实效性？笔者认为最有效的办法是：研究高考试题！纵观近几年的高考数学试题，不难发现其中有许多题目涉及的内容都不在高中课本中，而是以高等数学中的有关知识点为平台，考查学生的自主学习能力.因此“聚焦高等数学知识背景，审视高考数学创新题型”显得尤为重要.本文从几个高考试题中用到的高等数学知识谈起，以期对大家有所启发.

1 数学分析中的若干定理与高考解答题

例1设函数f(x)=x-ln(x+m)，其中常数m为整数.

(1)当m为何值时，f(x)≥0.

(2)定理：若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a,b),使得g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有2个实根.

(2004年广东省数学高考试题)

分析(1)略.

(2)本题以高等数学的定理作为依托,融于初等数学知识中.此类题目的设计虽来源于高等数学，但一般起点高、落点低.由第(1)小题知，当整数m>1时，

f(1-m)=1-m<0，

函数f(x)=x-ln(x+m)在[e-m-m,1-m]上为连续减函数,因此

f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=

e-m>0.

于是f(e-m-m)与f(1-m)异号.由所给定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m,1-m)，使得f(x1)=0.类似地，

f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>

因此函数f(x)=x-ln(x+m)在[1-m,e-m-m]上为连续增函数,且f(1-m)与f(e2m-m)异号.由所给定理知，存在唯一的x2∈[1-m,e-m-m],使得f(x2)=0.故当m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有2个实根.

这道题目充分考查了考生的阅读理解能力、知识整合能力、分析问题和解决问题的能力.试题展示给考生较大的思维空间，有效地甄别了学生的能力，体现了新课标中的主动探究和自主建构的特色.2006年浙江省数学高考理科试题第22题也是此类题型.

介值定理设函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，则在此区间内必有最大、最小值：f(x)min=A，f(x)max=B，且A≠B.不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ

(2)当a>4时，|f′(x1)-f′(x2)|>|x1-x2|．

(2006年四川省数学高考试题)

由

(1)

可得

(2)

因为a≤0，所以

(3)

由式(1)，式(2)，式(3),得

即

该试题背景新颖、公平，视角独特，能有效地考查学生进一步进入高校学习的潜能.在近几年全国各地的数学高考试题中，以函数凹凸性为背景的试题不少，譬如1995年全国数学高考试题第22题，2001年全国数学高考试题第22题，2005年湖北省数学高考试题第6题；2006年四川省数学高考试题第22题等测试的都是函数的凹凸性.

函数的凹凸性设函数f(x)为定义在区间I上的函数，若对(a，b)上的任意2个点x1,x2，恒有：

图1

图2

几何特征凹函数的图像如图1所示,凸函数的图像如图2所示.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2009年辽宁省数学高考试题)

分析第(1)小题测试了导数和分类讨论的思想方法，第(2)小题具有高等数学中的拉格朗日中值定理的背景.考虑函数

g(x)=f(x)+x=

由10，即g(x)在(4,+∞)上单调增加，从而当x1>x2>0时,

g(x1)-g(x2)>0，

即

f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，

于是

当0

此题的设计虽来源于高等数学，但起点高、落点低，其解决方法还是中学所学的初等数学知识，较易突破.这类试题可以多角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能.譬如2006年广东省数学高考试题和四川省数学高考压轴题都有拉格朗日中值定理的背景.

拉格朗日中值定理若函数y=f(x)满足：(1)在[a，b]上连续，(2)在(a，b)上可导,则在(a，b)上至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f(ζ)(b-a)成立.

2 线性代数中的若干定义与高考选择填空题

例4非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a,b∈G,都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G,都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算：

①G={非负整数},⊕为整数的加法;

②G={偶数},⊕为整数的乘法;

③G={平面向量},⊕为平面向量的加法;

④G={二次三项式},⊕为多项式的加法;

⑤G={虚数},⊕为复数的乘法.

其中G关于运算⊕为“融洽集”的是________(写出所有“融洽集”).

(2006年四川省数学高考试题)

分析该题以近世代数中群的定义为背景，给出了一个新的概念“融洽集”,是考查学生阅读理解、知识迁移的创新型试题．①G={非负整数},⊕为整数的加法.满足任意a,b∈G，都有a⊕b∈G，且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，所以①符合要求；②G={偶数},⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，因此②不符合要求；③G={平面向量},⊕为平面向量的加法，取e=0，满足要求，于是③符合要求；④G={二次三项式},⊕为多项式的加法，2个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，从而④不符合要求；⑤G={虚数},⊕为复数的乘法，2个虚数相乘得到的可能是实数，于是⑤不符合要求.这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①,③.

此题所涉及的运算都是高中阶段的基本运算，解答此题的运算量不大，无需特殊的技巧，弄清题意后心算就可作答，确实是个好题.

线性代数群的概念设有一个集合G,其中的元素用a,b,…表示.假设在集合G内有一种运算,记为“∘”:对G内的任意2个元素x和y,x∘y仍然是G中的元素,即在G中运算“∘”是可行的.如果集合G和运算“∘”还满足以下性质,我们就称G为一个群:

(1)G不是一个空集,即G内至少含有一个元素;

(2)结合律成立:即对任何元素a,b,c,恒有a∘(b∘c)=(a∘b)∘c;

(3)有单位元素存在，即G中有一个元素e有如下的性质:对任何a∈G,恒有e∘a=a;

(4)对任何a∈G,在G中有一个元素a-1,称为a的逆元,使a-1∘a=e.

(2008年福建省数学高考试题)

2x=x+x∈P，3x=2x+x∈P，

也就是说x的整数倍都是属于P的，且x不为0，有无限个整数，所以P的个数是无限的.

数域概念设K是某些复数所组成的集合.如果K中至少包含2个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意2个数a,b(a可以等于b)，必有a±b∈K，ab∈K,且当b≠0时，a/b∈K,则称K为一个数域.

例6设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:，V→V,a∈V,记a的象为f(a).若映射f:V→V满足：对所有a,b∈V及任意实数λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，则f(0)=0;

②对a∈V,设f(a)=2a，则f是平面M上的线性变换；

③若e是平面M上的单位向量，对a∈V设f(a)=a-e，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a,b∈V，若a,b共线，则f(a),f(b)也共线.

其中真命题是________(写出所有真命题的序号).

(2009年四川省数学高考试题)

分析本题在现有高中数学的基础上，结合了高等数学背景，同时结合集合、映射及平面向量等基础知识，给出一个新的概念.主要考查学生的阅读理解及推理论证能力，有利于考查考生进一步学习高等数学的能力及数学潜质.

①令a=b=0，由题意得

f(0)=2f(0),

即

f(0)=0,

因此命题①正确；

②由题意得

f(λa+μb)=2(λa+μb)，

λf(a)+μf(b)=2λa+2μb=2(λa+μb)，

即

f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),

故命题②正确；

③由题意得

f(λa+μb)=λa+μb-e，

λf(a)+μf(b)=λa-e+μb-e，

即

f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b)，

于是命题③不正确；

④由题意得

b=λa，f(0)=f(a-λb)=f(a)-λf(b)=0,

因此

f(a)=λf(b)，

即f(a),f(b)也共线，故命题④正确.

线性变换定义线性空间的一个变换A称为线性变换，若对于空间中任意的元素α,β和数域中的任意数k，都有

A(α+β)=A(α)+A(β);A(kα)=kA(α).

本文分析了近几年解答题中含有高等数学背景的高考试题，基本上以介值定理、函数凹凸性、拉格朗日中值定理为主.而在选择、填空题中以高等数学中的若干定义为主，其中群、数域、线性变换出现的频率较高.这些题目从不同的角度抓住了初、高等数学知识的衔接点，立意新、背景深，深受命题者的喜爱.试题的设计虽然来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，因此考生不必惊慌，只要坦然面对，即可突破.