共面圆轨道航天器在轨服务任务规划

欧阳琦 赵勇 陈小前

(国防科学技术大学航天与材料工程学院,长沙410073)

1 引言

近年来各航天大国纷纷提出以 “在轨服务”的方式提高航天器在轨机动能力和工作寿命。根据目标航天器的数量不同,可以将在轨服务分为 “一对一”和 “一对多”两种方式。“一对一”方式是指在一次在轨服务任务中,由一个服务航天器对单个目标航天器进行在轨服务;而 “一对多”方式则是指对多个目标航天器进行在轨服务;国外研究表明[1],“一对多”的在轨服务方式具有较大优势,也是未来在轨服务的主流方式。这是因为在轨服务的方案会使航天器本身的复杂度大大提高,从而增加航天器的成本,若只对单个目标航天器进行在轨服务操作,其成本可能会比重新发射一个相同的航天器还高。目前,国内外对 “在轨服务”技术本身的研究较多,美国的 “轨道快车”计划在太空中进行了在轨加注的试验,日本的ETS-VII进行了在轨模块更换的试验,这些研究成果证明了空间进行在轨服务的可行性。但是,对于 “一对多”的在轨服务任务来说,其本身是一个规划问题,通过建立合理的数学模型并进行优化,可以有效地减少整个在轨服务的成本,而目前对于这方面的研究相对较少。

由于异面轨道机动方式所消耗的燃料较多,因此 “一对多”在轨服务的对象一般是共轨道面或轨道面之间倾角差较小的一系列航天器。文献[2]对运行在地球同步轨道且轨道倾角较小的一系列卫星的在轨服务任务开展了相关研究,文中将共面转移与变轨道面机动所消耗的燃料进行了比较,结果表明共面转移所消耗的燃料基本可以忽略,并在此前提下将该任务规划问题简化成TSP问题(即最短路问题)进行求解。文献[3-8]对运行于同一轨道上的圆轨道卫星群的在轨加注任务进行了研究,其研究内容较为系统,且考虑了目标航天器互相之间还可以进行推进剂补给的情况。由于在实际工程应用中,目标航天器并不一定在同一轨道上,因此本文研究目标航天器运行在不同轨道上的情况,重点对共面但轨道高度不同的若干圆轨道目标航天器的在轨服务任务规划问题进行了研究。

2 任务规划模型

2.1 任务场景及规划问题

本文所研究的在轨服务任务场景如图1所示,服务航天器运行在低轨道上,对运行在高轨道上的n个目标航天器进行在轨服务,顺序为依轨道高度从低至高依次进行服务。对于单个目标航天器的在轨服务,分为远程导引、近程接近、捕获对接、服务任务操作、分离几个阶段,其中远程导引段采用多圈、双冲量的转移方式。在整个在轨服务任务完成后,服务航天器停留在最后一个目标航天器的轨道上。

以任务总时间为约束条件,以燃料消耗最省为优化目标,则规划问题归结为:在上述场景下,给定整个在轨服务过程的总时间,在不大于该时间的情况下使得燃料消耗最小。

图1 加注场景示意图

2.2 模型分析

服务航天器与目标航天器交会过程中的远程导引段所要解决的问题即多圈、双冲量Lambert交会问题。该问题本身即是一个复杂的优化问题,这是因为对多圈转移来说,若给定服务航天器与目标航天器之间的初始相位差及转移时间,转移轨道有2N max+1个解(其中N max为最大转移圈数),不同的解对应不同的变轨速度增量,从这2N max+1条轨道中找出最优的转移轨道需要反复求解Lambert方程,而该方程的求解难度较大。

将整个在轨服务任务分为n个阶段,从对第i-1个目标航天器服务完成至对第i个目标航天器服务完成称为阶段i。本文所研究的规划问题首先需要通过优化算法为每一个阶段分配相应的服务时间,其次进行多圈、Lambert问题的求解,得到相应的燃料消耗量,重复上述计算过程直至求得最优解,因此该规划问题是一个双层优化问题。外层为最优时间分配问题,内层即多圈Lambert问题。由于该问题存在嵌套优化,因此,大大增加了模型的求解难度。

为简化模型,在整个加注任务过程中忽略姿控的推进剂消耗量,这是因为与轨控的推进剂消耗量相比,姿控的推进剂消耗量较少;每颗目标航天器加注过程中所需的服务任务操作以及分离时间视为相同;另外,在整个过程中暂不考虑摄动力的影响。

2.3 数学模型

对在轨服务任务的某个阶段i,设分配给该阶段的时间为Ti,则Ti由三部分组成:

式中 t1i为初始漂移时间[9],即服务航天器在初始轨道上的飞行时间;t2i为终端停泊时间[9],即服务航天器与目标航天器分离后,服务航天器在目标航天器轨道上的停留时间;tfi为轨道转移时间,即服务航天器在转移轨道上的飞行时间。

对于固定时间、单圈、两冲量Lambert交会问题,速度增量Δvi可以描述为两次施加冲量位置之间的地心张角 Θi、轨道转移时间tf i以及服务航天器和目标航天器运行轨道半径r a、rb的函数:

多圈转移的最小速度增量即为2N max+1个解中的最小值,记为Δvimlt,则

记Θi0为阶段i初始时刻服务航天器与目标航天器之间的地心相位差,na、nb分别为初始轨道和目标轨道的平动角速度,则

可以看出,Ti固定时改变 “初始漂移时间”可以改变 Θi的大小以及轨道转移时间t f i;改变“终端停泊时间”可以改变tfi的大小。

由于前一次服务后的终端停泊和后一次服务的初始漂移是在同一条轨道上,因此,可以合并这两个时间变量来减少变量的个数,即可令t2i=0(i≠n),记近程接近、捕获对接、服务任务操作所消耗的总时间为tc,则本文所要解决的规划问题的数学模型如下:

2.4 求解方法及流程

(1)内层优化问题

多圈转移最小速度增量的求解方法借鉴朱仁璋等提出的工程图解法的思想[10],在此做简要介绍。服务航天器与目标航天器在初始时刻分别运行在半径ra、rb的圆轨道上,转移时间记为tf。采用归一化的计算方式,取半径rb为距离单位,半径为r b的圆轨道周期Pb为时间单位。例如 ra=0.96rb,tf=3Pb,归一化后变为 ra=0.96,tf=3;地球引力常数通过归一化后变为μ=4π2。图解法的思想如图 2所示,此处 ra=0.96,rb=1,两次施加冲量位置之间的地心张角Θ=60°,给定的轨道转移时间 T=2.5,a为转移轨道半长轴,Δv为变轨所需的速度增量,将tf-a曲线、Δv-a曲线以及直线t f=T作于同一图上,直线 tf=T与t f-a曲线有2N max+1交点,这样可读得a的 2N max+1个解 (图中N max=3),再由a的值在Δv-a曲线上读出相应的Δv值。通过图解结果获得最小的Δv对应的转移圈数后,进一步用数值方法精确求解。

注意到Δv-a曲线分为两部分,上下两部分为不同的转移轨道类型[10],因此可以通过比较下半部分的Nmax+1个解来求最小速度增量。同时,Δv-a曲线有先下降后上升的趋势,通过加入相应的比较策略可以有效的减少计算的次数。因此本文直接对下支的相应点进行比较来求解,从而将问题的求解嵌入到外层优化中。

图 2 最小Δv图解法

(2)外层优化问题

多圈、双冲量Lambert问题是一个多峰问题。例如对于某阶段i,若取ra=0.96,rb=1, Θi0=60°(采用归一化计算),不考虑 “初始漂移时间”和 “终端停泊时间”,图3为 Δvimlt随转移时间tfi的变化图。可以看出,仅从单个阶段来考虑,搜索tf i来求解就很容易陷入局部最优,而本文中的规划问题需要对n个阶段的时间进行分配,即搜索2n维向量X,求解难度较大。遗传算法是20世纪60～70年代发展起来的,它是模仿物种群中优胜劣汰的选择机制,通过种群中优势个体的繁衍进化来实现优化的功能[11]。遗传算法对此类问题的求解能力较强,不容易陷入局部最优,因此采用遗传算法来求解问题。

(3)计算流程

整个问题的求解流程图如图4所示,首先随机产生初始种群,其次反复调用多圈、Lambert问题的求解函数来计算适应度,依据适应度值选择再生个体进行交叉、变异等遗传运算,生成新的种群,当满足停止条件时跳出,输出最优解。

图3 Δ随tfi的变化图

图4 计算流程图

3 算例及结果分析

(1)算例1

以3颗目标航天器为例,服务航天器的轨道半径为r0=6871km,3颗目标航天器的轨道半径分别为r1=6971km,r2=7021km,r3=7171km,初始时刻服务航天器与目标航天器的地心相位差分别为 Θ10=60°, Θ20=165°, Θ30=220°。任务完成时间为 6天即 6×86400s,tc=1800s。

利用Matlab遗传算法工具箱进行优化计算,初始种群设为50,计算50代,适值函数取为φ(X),得到最优解为

三个阶段的转移轨道圈数分别为7圈、16圈和14圈。各代的收敛情况如图5所示。

在此算例的条件下,由于任务完成时间很长,可视为对于任务完成时间未加限制,因此优化结果应当接近于霍曼转移。将遗传算法得到的最优解与霍曼转移的结果进行比较,如表1所示。易知,遗传算法得到的计算结果与霍曼转移的结果相差较小,从而验证了该算法的有效性。对于任务完成时间有限的问题,由于变量的搜索范围大大减小,遗传算法将会体现出更好的性能。

图5 算例1各代收敛情况

表1 算例1计算结果

(2)算例2

服务航天器轨道参数、3颗目标航天器的轨道参数以及初始时刻服务航天器与目标航天器的地心相位差与算例1相同,任务完成时间为1天即86400s,tc=1800s。利用Matlab遗传算法工具箱进行优化计算,初始种群设为50,计算50代,最后得到的最优解为

三个阶段的转移轨道圈数分别为3圈、3圈和1圈。3条转移轨道的半长轴和偏心率分别为

此时需要消耗的速度增量约为1264.00m/s。各代的收敛情况如图6所示。

图6 算例2各代最优解

表2 算例2计算结果

4 结束语

随着在轨服务技术的不断发展,未来 “一对多”的在轨服务方式将成为在轨服务的主要方式。本文以 “一对多”在轨服务为研究背景,以共面但不同轨道高度航天器的在轨服务任务为研究对象,开展了在轨服务顶层任务规划问题的研究。建立了 “一对多”在轨服务任务的规划模型,通过分析,该任务规划问题为双层优化问题,且存在多个局部最优解。采用工程图解法的思想求解内层多圈Lambert问题,采用遗传算法求解外层最优时间分配问题,最后以3颗目标航天器为例,在任务完成总时间有限和无限两种情况下进行了求解,计算结果验证了算法的有效性,且遗传算法也体现出了较好的性能。

在本文的研究基础上可以进一步分析如目标航天器轨道为椭圆、异面的情况,以及轨道摄动力等因素对整个模型的影响。另外,还可以考虑当服务航天器所带推进剂有限,而多颗目标航天器所需的推进剂不同时,如何进行规划的问题。本文的研究工作为研究这些问题提供了较好的基础。

[1]TSIOTRAS P,NAILLY A.Comparison Between Peer-to-Peer and Single Spacecraft Refueling Strategies for Spacecraft in Circular Orbits[C].Info tech at Aerospace Conference,No.AIAA Paper 05-7115,Crystal City,DC,Sept.2005.

[2]KYLE T,DEOK-JIN LEE,CREAM ER N GLENN.Optimal Servicing of Geosynchronous Satellites[C].AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit,California,Auguest 5-8,2002.

[3]PANAGIOTIS TSIOTRAS.Coordinated Resource Allocation Among Multiple Agents with Application to Autonomous Refueling and Servicing of Satellite Constellations[R].AFOSR FA9550-04-1-0135,2008.

[4]ATRI DUTTA,PANAGIOTIS TSIOTRAS.A Cooperative P2P Refueling Strategy for Circular Satellite Constellations[C].AIAA Space 2008 Conference&Exposition,San Diego,California,AIAA 2008-7643 September 9-11,2008.

[5]DUTTA A,TSIOTRAS P.An Egalitarian Peer-to-Peer Satellite Refueling Strategy[J].AIAA Journal of Spacecraft and Rockets,2008,45(3):608-618.

[6]DUTTA A,TSIOTRAS P.Asynchronous Optimal Mixed P2P Satellite Refueling Strategies[J].The Journal of the Astronautical Sciences,2006,54(3-4):543-565.

[7]DUTTA A,TSIOTRAS P.A Network Flow Formulation for an Egalitarian P2P Refueling Strategy[C].AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting,No.AAS Paper 07-151,Sedona,AZ,Jan.2007.

[8]DUTTA A,TSIOTRAS P.A Greedy Random Adaptive Search Procedure for Optimal Scheduling of P2P Satellite Refueling[C].AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting,No.AAS Paper 07-150,Sedona,AZ,Jan.2007.

[9]朱仁璋.航天器交会对接技术[M].北京:国防工业出版社,2007.

[10]朱仁璋,蒙薇.航天器交会两点边值问题[J].宇航学报,2006,27(6):1184.

[11]JOHN H HOLLAND.Adaptation in natural and artificial systems[M].MIT Press,1992.