平面曲线的切割函数的分析性质

岳崇山,宋旭华,景海斌

(1.河北北方学院理学院,河北张家口075000;2.宣化科技职业学院数学系,河北宣化075100;3.河北建筑工程学院数理系,河北张家口075000)

研究平面区域的边界曲线的局部轴对称性是比较和测量平面或空间区域的外形的诸多方法中极为重要的一种方法.即给定平面上的简单光滑闭曲线M,研究与M相切不止一点的圆.如果M上每一点都存在这样的圆,那么就表明平面曲线具有 “局部”的对称性:切线和切点关于一条曲线对称.所有这些双切圆的中心形成轨迹称为M的对称集(它与中轴,对称轴变换,中心集等密切相关).在平面区域的外形识别中,这个集合有着非常重要的作用.关于这方面的研究见参考文献[1-4].

Peter J.Gibin和Donal B.O＇shea讨论了平面闭曲线的双切圆的存在性问题[5,6].他们的论文中,切割函数是一个重要的概念和工具.但是他们定义的切割函数仅适用于闭曲线,实际上切割函数是可以定义在一般的曲线上的.本文的工作就是在重新定义切割函数之后,讨论切割函数的分析特性,即连续性和可导性.

1 基本概念

定义 1.1[7,8]设(s)={x(s),y(s)}平面曲线,称(s)={-y＇(s),x＇(s)}为曲线的单位法向量.

定义1.2 设 r(s)为平面曲线,κ(s)为其相对曲率,r(s0)是曲线上一点.称

为曲线r(s)的切割函数,

为曲线r(s)的拓广的切割函数.

2 主要结果

考察平面曲线的拓广的切割函数的分析性质.关于分析性质的定义参见文献 [8],向量函数的分析性质的定义见参考文献 [9,10].下面的定理考察了平面的曲线的拓广的切割函数的连续性.

定理2.1 平面曲线的拓广的切割函数是连续函数.

下面的定理考察了平面的拓广的切割函数的可导性.

定理2.2 如果平面曲线是Cm(m≥2)类的,那么适当地补充值之后,其拓广的切割函数是类的C(m-2).

证明 当s0∉S时,由于平面曲线r(s)是Cm类的,而其拓广的切割函数的表达式为

设 r(s)={x(s),y(s)},点 P0(s0)处的参数值为 s0=0,(s0)=, 单位切向量′(s0)的方向为 x轴的正向.(s0),′(s0)和单位法向量n(s0)一起构成单位右手标架.在s0邻近,曲线的切割函数按其分量展开为

由于曲线 r(s)是 Cm(m≥2)类的,则它在s0邻近的泰勒展开为

因而在s0邻近有

将其带入到切割函数的表达式中有

由于新的表达式中,分子分母都是C(m-2)类的,且分母有意义,故适当地补充值可以使得拓广的切割函数(s0,s)是C(m-2)类的.

由定理2.1和定理2.2立即可得下面的推论.

推论2.1 如果平面曲线是光滑的,那么其拓广的切割函数也是光滑的.

3 小 结

本文主要讨论了平面曲线的拓广的切割函数的分析性质,包括连续性和光滑性.进一步地,空间曲线的拓广的切割函数是否具有相同的性质?这个问题将是我们进一步的研究工作.

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