几何概型不“孤单”

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(华罗庚中学 江苏金坛 213200)

几何概型不“孤单”

●钱辉

(华罗庚中学 江苏金坛 213200)

若事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概型，它的特点是无限性和等可能性．在教学中，经常会遇到与其他多个知识点融合而形成的背景新颖、能力要求较高、构思独特的几何概型问题．

1 与随机数相关的几何概型

例1用计算机随机产生有序二元数组(x,y)满足0

(1)两数之和大于1.2；

(2)两数平方和小于0.25．

解(1)记“两数之和大于1.2”为事件A，则x+y>1.2，因此事件A发生即表示点(x,y)落入图1中的阴影部分.而点落在正方形内任一点的机会都是均等的，于是事件A的概率应等于阴影部分的面积与正方形面积之比，所以

图1 图2

2 与函数相关的几何概型

例2函数f(x)=x2-x-2，x∈[-5,5],对任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率为多少？

图3

解记“任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0”为事件A，易知f(x)的2个零点为xC=-1,xD=2．在[-5,5]中任取一实数x即相当于在线段AB上任取1个点，事件A发生即恰好取到线段CD上一点，事件A包含的基本事件为图3中线段CD的长度，所有基本事件为线段AB的长度,因此

3 与方程相关的几何概型

例3设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，若a是区间[0，3]中任取的1个数，b是区间[0，2]中任取的1个数，求上述方程有实根的概率．

解(1)记“方程有实根”为事件A，在直角坐标平面上，坐标(a,b)表示的点均匀落在如图4所示的矩形区域内，事件A发生即对应的点落在满足Δ=(2a)2-4b2≥0的区域内,因此

图4 图5

4 与不等式相关的几何概型

例4在集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取1个元素，能使不等式2x+y-4≥0成立的概率是多少？

解记“不等式2x-y-4≥0成立”为事件A，如图5所示，集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}为矩形内(包括边界)所有点的集合，集合{(x,y)|2x+y-4≥0}表示坐标平面内直线2x+y-4=0右上方(包括直线)的点的集合，因此

5 与平面几何相关的几何概型

例5一只蚂蚁在边长为6的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离4个顶点距离都大于3的地方的概率为多少？

解记“蚂蚁恰在离4个顶点距离都大于3的地方”为事件A，如图6所示，蚂蚁落在正方形区域内任一点是等可能的，而事件A发生即蚂蚁落在了图6中所示的空白部分，因此

图6 图7

6 与立体几何相关的几何概型

例6在1 L高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？

解病种子在这1 L中的分布可以看作是随机的，取得的10 mL种子可视作构成事件的区域，1 L种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．

记“含有病种子”为事件A，则

因此取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．

7 与解析几何相关的几何概型

8 与算法相关的几何概型

图8

例8定义函数CONRND(a,b)是产生区间(a,b)上的任何一个实数的随机数函数，如图8所示的程序框图可用来估计π的值．现在N输入的值为100，结果m的输出值为21，则由此可估计π的近似值为多少？

解在算法的流程图中，A，B分别是产生在(-1，1)中的随机数，故在直角坐标系中，由A，B组成的有序数组(A，B)为坐标的点落在“-11”的点表示落在了单位圆外(如图8所示的阴影部分)，因此程序中输出的值m即为落在圆外的点的个数，所以点落在圆外的概率为

即

解得

π≈3.16．

图9 图10

9 与集合相关的几何概型

例9已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b·2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.若a,b∈R，求A∩B=φ的概率．

解因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a,b)对应的区域为边长为2的正方形.令

f(x)=ax+b·2x-1,x∈[-1,0]，

则

f′(x)=a+bln2·2x.

因为

a∈[0,2]，b∈[1,3],

所以

f′(x)>0.

即

2a-b+2≤0.

所以满足A∩B=φ的(a,b)对应的区域为如图9中所示的阴影部分，于是

几何概型虽然描述的是概率问题，可是它很容易与其他知识点相结合，以上通过几个例子概括地叙述了这类问题的主要题型，其他的一些问题这里就不再累述了．