应用直线参数方程解比例竞赛题

●

(泰州实验学校 江苏泰州 225300)

应用直线参数方程解比例竞赛题

●于志洪

(泰州实验学校 江苏泰州 225300)

众所周知，由定比分点公式

可求出分点M的坐标(x,y).在此，若以变数λ为参数,l为过点M1(x1,y1),M2(x2,y2)的直线，则对于每一个不等于-1的参数λ，l上都有1个点与之对应；反之，对于l上的除点M2外的每一个点M都有一个值λ与之对应，即有下面的一一对应关系：

{λ：λ∈R,λ≠-1}↔{M:M∈l,M≠M2}，

因此，方程

(1)

是直线l的参数方程.

下面用直线参数方程来解竞赛题.

1 求比值

例1在△ABC中，已知D为BC的中点，E为AD的中点.又BE的延长线交AC于点F，求AF∶FC.

(2007年河南省焦作市初中数学竞赛试题)

又直线AC的两点式参数方程为

(3)

将式(3)代入式(2),得

(a+λ)b-(a+2)b+b(1+λ)=0,

解得

即

AF∶FC=1∶2.

图1 图2

2 求连比值

例2在△ABC中，D,E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM分别交AD,AE于点G,H，则BG∶GH∶HM=

( )

A.3∶2∶1 B.4∶2∶1

C.5∶4∶3 D.5∶3∶2

(2008年江西省南昌市高中数学竞赛试题)

解建立如图2所示的直角坐标系.设A(2a,2b),C(6,0),则D(2,0),E(4,0),M(a+3,b).由两点式得AD的方程为

bx+(1-a)y-2b=0,

(4)

AE的方程为

bx+(2-a)y-4b=0.

(5)

又BM的两点式直线参数方程为

(6)

将式(6)代入式(4),得

解得

λ=1，

即

(7)

又将式(6)代入式(5),得

解得

即

(8)

设BG=m，GH=n，HM=p，则由式(7)，式(8)得

即

解得

因此

BG∶GH∶HM=m∶n∶p=

5∶3∶2.

故选D．

3 证四线段成比例

(2007年湖南省沅江市初中数学竞赛试题)

证明建立如图3所示的直角坐标系，则EDF的方程为

设A(a,b),C(c,d)，则B(-c,-d),从而直线AC的两点式参数方程为

(10)

(11)

把式(10)代入式(9),可得

即

从而

把式(11)代入式(9)可得

即

因此

图3 图4

4 证线段比积的关系

例4(Menelaus定理)一直线截△ABC的边BC,CA,AB或其延长线于点D,E,F，求证:

(2007年浙江省舟山市初中数学竞赛试题)

证明建立如图4所示的直角坐标系，则EDF的方程为

x=0.

(12)

设A(x1,y1),B(x2,y2)，C(x3,y3)，则直线CA的两点式参数方程为

(13)

把式(13)代入式(12)可得

同理可得

因此

5 证线段比和的关系

(2008年贵州省毕节市高中数学竞赛试题)

证明建立如图5所示的直角坐标系，则l的方程为

y=0.

(14)

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则

又直线AB的两点式参数方程为

(15)

把式(15)代入式(14),得

从而

从而

综上所述，应用直线的两点式参数方程解、证这类问题时，首先要建立直角坐标系，设置好有关各点的坐标，写出一条直线的普通方程，再列出与这条直线相交的另一条直线的两点式参数方程，然后将参数方程代入普通方程中求出λ的值，按照结论要求解、证即可.

图5 图6

一般说来，这类问题有如下推广.

定理1已知D和E分别是△ABC的边BC和CA(或其延长线)上的点，AD与BE交于点F.

证明建立如图6所示的直角坐标系.设C(1，0)，A(a,b),则由定比分点坐标公式得

由两点式得AD的方程为

b(1+m)x+(m-a-am)y-mb=0.

(16)

又直线BE的两点式参数方程为

(17)

把式(17)代入式(16),得

λb(1+m)(1+na)+ (m-a-am)λnb-

mb(1+λ)(1+n)=0,

整理得

λ-m-mn=0,

从而

结论(1)得证.

结论(2)的证明与结论(1)类似，证明留给读者完成.

通过上述研究可知,直线两点式参数方程在竞赛中的应用不可忽视，上述比例问题的推广也通俗易懂.此专题内容不仅符合新课程改革关于“拓宽视野，加强研究”的理念要求，而且利于学生接受，适合教师讲解.实践表明，研究课本中定理、公式的应用及推广，对于帮助学生融会贯通“双基”知识，培养学生的创新意识和探索精神，对于帮助学生提高综合解题水平、理解课本内容、启迪思维、开拓视野，均很有益处.

为此，笔者认为，作为一名中学数学教师，在今后的教学过程中，有目的地引导学生对一些结合课本内容的专题进行研究，是很有必要的.

[1] 于志洪.应用直线两点式参数方程解几何题[J].海南教育学院学报:综合版.1997,8(2):11-12.