弹性势能零点选择及易出现的误区分析

郑福昌

(武夷学院电子工程系,福建武夷山354300)

弹簧系统的弹性势能与重力势能一样是对一定的势能零点而言的,否则,势能没有意义,但选择不同的势能零点,弹性势能不同。在普通物理学中,相当一部分学生在弹性势能概念和计算上经常出错。本文将在势能概念的基础上,对在选择不同弹性势能零点时势能值的计算方法进行讨论,在此基础上通过特例对出现错误的原因进行深入分析。

1 弹性势能的零点选择

势能值只具有相对意义,即它是相对于势能零点来讲的,而势能零点的选择具有任意性,通常可以根据解题的方便,灵活恰当地选取。势能零点选择不同,势能值也不同,但两点间的势能差并不因零点选择的不同而改变,重力势能如此,弹性势能也不例外,这是势能的共同特点。在力学教材中是以弹簧自由长度处为弹性势能零点导出势能值的表达式:Ep=kx2,所以常引起一种错觉,似乎弹性势能的零点只能取在弹簧的自由长度处。其实不然,弹性势能的零点可以取在弹簧的自由长度处,也可以取在其他位置,弹性势能的零点原则上可以任意选取。如果弹性势能的零点取在弹簧自由长度处,则根据势能的定义“保守力的功等于物体系势能增量的负值”,显然在由零势能状态变化到任一状态的过程中,弹性力总是做负功的,因此由零势能状态到任意状态弹性势能总是增加的,故当以弹簧自由长度处为弹性势能零点时,弹性势能总是正值。

弹性势能的零点原则上可以任意选取,若不选在弹簧自由长度处,则系统在任意状态下的弹性势能不能保证总是正值,即在某些状态下可能是正值,而在另外一些状态下可能为负值。

2 零点不选在弹簧自由长度处时,弹性势能的计算

当弹性势能零点不选在弹簧自由长度处时,仍可根据势能的定义“保守力的功等于物体系势能增量的负值”,计算出任一状态下系统的弹性势能。

下面通过对一水平放置且一端固定,另一端连一物体的弹簧(如图1所示)进行分析。设弹簧劲度系数为k,物体位于O点(x=0)时,弹簧处于自由长度。

图1

2.1 以O点为弹性势能零点

以弹簧自由长度处O点为坐标原点,水平向右为坐标轴正向建立坐标。当物体位于A′点时,弹簧被拉伸,拉弹簧过程中,弹性力的功为

式中-kx为弹性力,因 x>0,所以-kx沿x轴负向,而d x>0。

根据势能的定义有:-(EpA′-0)=-所以物体位于A′点时,系统的弹性势能 EpA′=kx

可见,当以弹簧自由端O点为弹性势能零点时,任一状态下系统弹性势能可以表示为:

并且它恒为正值。

2.2 以A点为弹性势能零点

在物体由A点运动到O点过程中,弹性力做正功,系统的弹性势能应减少,故当物体位于A点和O点之间时,系统的弹性势能均为负值。由A点运动到O点过程中,弹性力做功WAO=∫(-kx)d x=。因以 A点为弹性势能零点,即 EpA=0,所以物体位于O点时,系统的弹性势能 EpO=

同理可以求得,物体位于B点时系统的弹性势能EpB=-

在物体由O点运动到A′点的过程中,由于弹性力做负功,弹性势能增加,弹性力做功WOA′=-。故有 EpO-EpA′=-,所以物体位于A′点时系统的弹性势能 EpA′=EpO+=0。

同理可以分别计算出物体位于B′点、C点和C′点处时系统的弹性势能为:EpB=EpB′=-

2.3 结果分析

从以上可以清楚地看出:

1 )若以弹簧自由长度处为弹性势能零点,则弹性势能恒为正值。

2 )若弹性势能零点不选在弹簧自由长度处,则系统在任意状态下的弹性势能不能保证总为正值,在某些状态下可能为负值。

3 )以不同点为弹性势能零点时,同一状态的弹性势能值是不同的。但任意两确定状态的弹性势能差是不变的。

3 选择不同弹性势能零点时小球第一次经过O′点的速率

一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定,另一端悬挂一个质量为m的小球,这时平衡位置在点O′,如图2所示。现用手把小球沿竖直方向拉伸Δx并达到B点的位置,静止释放后小球向上运动,试求小球第一次经过O′点时的速率。

图2

3.1 O点为弹性势能零点

以弹簧自由长度处O点为坐标原点,竖直向下为坐标轴正向建立坐标系。把小球所处的B点位置取为系统的重力势能零点,而系统的弹性势能零点取在弹簧未发生形变时的O点。设受小球重力作用,弹簧伸长了Δx0,而到达了O′点。

O′状态时系统的机械能:

B状态时系统的机械能:

由O′状态和B状态的机械能守恒,可得

式中v是小球达O′点时的速率。因小球处于O′点时重力等于弹性力,故有

由式(1)、(2)可求得小球到达O′点时的速率

3.2 O′点为弹性势能零点

3.2.1 误区分析

以弹簧自由长度处的点为坐标原点,竖直向下为坐标轴正向建立坐标系,B点取为系统的重力势能零点,将弹性势能的零点选在O′点,得O′状态时系统的机械能

B状态时系统的机械能

由O′状态和B状态的机械能守恒,可得

故有

显然,在同一参考系下讨论的速率问题,由于弹性势能零点选择不同而得出了不同的结果。当然,式(5)所得结果是错误的。这一错误结果的出现,是什么原因造成的呢?难道说O′点处不能选为弹性势能零点?显然,并不是势能的零点不可以任意选择。式(5)所应用的弹性势能的表达式是 Ep,其前提条件是选择物体处于平衡位置(弹簧未发生形变)时系统的弹性势能为零。在应用 Ep时,已经默认选O点为势能零点,现在又选O′点为势能零点,无形中选了两个势能零点,这也就是导致式(5)错误的原因。由以上可知,如将弹性势能的零点选在O′点,相应小球在B点位置的弹性势能应有不同的值。

3.2.2 正确解法

下面就以O′点为弹性势能的零点,B点为系统的重力势能零点,O′状态时系统的机械能:E (O′)=m g(Δx)+m v2;B状态时系统的机械能: E(B)=-k(Δx)2+k(Δx+Δx0)2。由O′状态和B状态机械能守恒有:

由此可得

3.3 B点为弹性势能零点

下面就以O′点为弹性势能的零点,B点为系统的重力势能零点,可得O′状态时系统的机械能:;B状态时系统的机械能:E(B)=0。由O′状态和B状态机械能守恒有:k(Δx0)2-k(Δx+Δx0)2+m g(Δx)+=0。由此可得

需要特别注意的是,公式 Ep=是在选择了弹簧无形变状态为势能零点得到的,Ep=m g h也是选定了势能零点在h=0处。那么,h=0在什么地方呢?显然,物体在B点位置取为系统的重力势能零点,这时O′的高度是h=Δx(在上面的求解过程中正是这样选择的),也可以把O′点位置取为系统的重力势能零点,这时B点的高度是h=-Δx。这两种选择都满足h=0,Ep=0。

由上面分析可知,公式 Ep=和 Ep= m g h中的x和h具有不同的含义。h是物体所处的高度,只有相对意义,而 x代表弹簧的形变,具有绝对意义。

以上所讨论的问题只涉及在相同参考系下同一坐标原点(弹簧自由长度处)的情况,实际上如果在同一参考系下选择不同的坐标原点,弹性势能的表示式也不同。限于篇幅此问题以后再做讨论。

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