严格集压缩映象的三不动点定理

牧少伯,梁 童

(1.河南教育学院数学系,河南郑州450046;2.黄河水利职业技术学院数学系,河南开封 475003)

严格集压缩映象的三不动点定理

牧少伯1,梁 童2

(1.河南教育学院数学系,河南郑州450046;2.黄河水利职业技术学院数学系,河南开封 475003)

利用不动点指数理论将Avery的三不动点定理推广到严格集压缩映象,从而得到关于严格集压缩映象的3个正的不动点的存在性.

非紧性测度;严格集压缩映象;不动点指数

不动点定理在微分方程边值问题中有着广泛的应用[1-3].本文利用严格集压缩映象的不动点指数理论将Avery[4]关于全连续算子的三不动点定理推广到严格集压缩映象,得到一个关于严格集压缩映象三不动点定理.关于该定理的应用见文献[5].

1 基本概念

定义1设E是实Banach空间,如果P是E中某非空凸闭集,并且满足下面两个条件:①x∈P,λ≥0⇒λx∈P;②x∈P,-x∈P⇒x=θ,θ表示E中零元素;则称P是E中一个锥.

给定E中一个锥P后,可以在E中的元素间引入半序:x≤y(x,y∈E),如果y-x∈P.对Banach空间中的任一有界集B,我们可以定义其Kuratowski意义下的非紧性测度α(B).设B⊂E是有界集,则α(B)= inf{δ>0|B可以被有限个直径小于或等于δ的集合覆盖}称为B的非紧性测度,详见文献[6].本文记I= [0,1],α为E及C[I,E]中有界集的非紧性测度(按Kuratowski意义).

定义2E1,E2是实Banach空间,D⊂E1,设A:D→E2连续,有界.如果存在常数k≥0,使对任何有界集B⊂D,都满足α(A(B))≤kα(B),则称A是D上的k-集压缩映象;特别k<1时的k-集压缩映象称为严格集压缩映象.

定义3映射β称为锥P上的非负连续凹泛函,如果β:P→[0,+∞)连续,且满足α(tx+(1-t)y)≥tα(x)+(1-t)α(y),∀x,y∈P,∀t∈[0,1];映射γ称为锥P上的非负连续凸泛函,如果γ:P→[0,+∞)连续,且满足γ(tx+(1-t)y)≤tγ(x)+(1-t)γ(y),∀x,y∈P,∀t∈[0,1].

记γ,ω为P上非负连续凸泛函,β为P上非负连续凹泛函,ψ为P上非负连续泛函.对正实数a,b,c,d,我们定义以下集合:P(γ,d)={x∈P|γ(x)

定义4设X是实Banach空间E的一个凸闭集,U是X的有界开集,¯U表示U的闭包,A:¯U→X是严格集压缩映象,且Ax≠x,∀x∈∂U.则存在整数i(A,U,X)称为A在U上关于X的不动点指数,满足下列性质:

(1)正规性 若A:¯U→U是常算子,则i(A,U,X)=1;

(2)可加性 若U1与U2是U的互不相交的子集,关于X都是开的,并且A在¯U(U1∪U2)上没有不动点,则i(A,U,X)=i(A,U1,X)+i(A,U2,X),这里i(A,Uk,X)=i(A|¯Uk,Uk,X),k=1,2;

(3)同伦不变性 设H:[0,1]ׯU→X连续,并且对每一个固定的t∈[0,1],H(t,g):¯U→X是k-集压缩映象,k<1(k与t无关),而且H(t,x)对于t在任何点t0∈[0,1]的连续性关于x∈¯U是一致的.又设当(t,x)∈[0,1]×∂U时,恒有H(t,x)≠x.那么i(H(t,g),U,X)与t无关;

(4)保持性 若Y是X的一个凸闭集,A(U¯)⊂Y,则i(A,U,X)=i(A,U∩Y,Y),这里i(A,U∩Y,Y)=

(5)切除性 若V是关于X的开集,V⊂U,且A在¯UV上没有不动点,则i(A,U,X)=i(A,V,X);

(6)可解性 若i(A,U,X)≠0,则A在U中至少有一个不动点.

2 不动点定理

引理1设X是实Banach空间E的一个凸闭集,X1是X的一个有界凸闭集,U是X的非空开集,且U⊂X1.又设A:X1→X是严格集压缩映象,A(X1)⊂X1,并且A在X1U上没有不动点,则必有i(A,U,X)=1.

证明由于X1是X中的闭集,从而¯U⊂X1(实际上,由于X又是E中闭集,故X1也是E中闭集),故A(¯U)⊂A(X1)⊂X1.又由已知条件A在∂U上无不动点,知i(A,U,X)有意义.故由不动点指数的保持性知

由于U是X的相对开集,而U⊂X1⊂X,故U也是X1的相对开集.由假定A在X1U上无不动点及切除性知

综合(1)、(2)、(3)三式,即得i(A,U,X)=1.

推论 设X是实Banach空间E中一个非空凸闭集,A:X→X是严格集压缩映象,则i(A,X,X)=1.

证明在引理1中,取U=X1=X即可.

又已知A:X→X为严格集压缩映象,且X是Banach空间E中的非空有界凸闭集,故由引理1的推论得

[1] Zhang Guowei,Sun Jinxian.Positive solutions ofm-point boundary value problems[J].J Math AnalAppl,2004(291):406-418.

[2] Martin R H.Nonlinear operators and deferential equations[M].New York:JohnW iley-Sons,1976.

[3] 郭大钧.非线性泛函分析[M].2版.济南:山东科学技术出版社,2001.

[4] Avery R I,Peterson A C.Three positive fixed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces[J].Computers andMathematicswith Applications,2001(42):313-322.

[5] 梁童,张兵.Banach空间二阶n点边值问题三正解的存在性[J].郑州大学学报:理学版,2009,41(4):11-15.

[6] 郭大钧,孙经先.抽象空间常微分方程[M].2版.济南:山东科学技术出版社,2002.

Three Fixed Po ints Theorem for Strict Set Contraction Mapping

MU Shao-bo1,L IANG Tong2

(1.Department of M athem atics,Henan Institute of Education,Zhengzhou 450046,China;
2.Depar tm ent of M athem atics,Yellow River Conservancy Technical Institute,Kaifeng 475003,China)

By using fixed point index,the Avery three fixed points theorem is generalized to strict set contraction mapping,and the existence of three positive fixed points for strict set contraction mapping is obtained.

measure of noncompactness;strict set contraction mapping;fixed point index

O177.91

A

1007-0834(2010)02-0001-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2010.02.001

2010-04-19

河南省科技厅软科学项目(072400430610)

牧少伯(1982—),男,河南郑州人,河南教育学院数学系教师.