不可约Z－矩阵最小特征值的改进算法

姜立新

(德州职业技术学院 山东 德州 253000)

1 引言

Z－矩阵是一类比较重要的矩阵，在计算数学、图论和线性规划等学科有着广泛的应用，求其最小特征值及特征向量的算法，已有一些结果［1］－［5］，本文对文献［5］中的算法做了一些改进，改进后的迭代算法过程简单，收敛速度更快并用数值实验加以验证．

定义1 设A=(aij)n×n是实矩阵，若满足非主对角元素aij≤0，则称A是Z－矩阵．

定义2 设A是n阶矩阵(n≥2)，如果存在n阶排列矩阵P，使PTAP有如下形状，

其中A11和A22分别为r阶和n－r阶方阵(0≤r＜n)，则称A为可约矩阵，如果不存在这样的排列阵，则称A为不可约矩阵．如果是A=(aij)n×n是不可约Z－矩阵，那么可适当取使B=RI－A 是 不可约非负矩阵且bii≠0，i=1，2，…，n，如果计算出B的最大特征值λ，则ρ=R－λ就是A的最小特征值．

说明:全文中ri(A)表示矩阵A的第i行的行和，ci(A)表示矩阵A的第i列的列和．ρ(A)表示A的谱半径，AT表示矩阵A的转置．

2 主要结果

引理 1［1］设A= (aij)n×n是实矩阵，r是A的特征值，(x1，x2，…，xn)T和(y1，y2，…，yn)T分别是A和AT与r对应的特征向量，则有

引理 2［1］设A= (aij)n×n是实矩阵，则

引理 3［1］设q1，q2，…，qn是正数，p1，p2，…，pn是任意实数，则当且仅当所有的比值相等时等号成立．

引理4［6］设A为非负不可约矩阵，则

(1)A有一正特征值等于谱半径ρ(A)

(2)A有与ρ(A)相对应的正特征向量

(3)A的任一元素增加时，ρ(A)也增加

(4)ρ(A)为A的简单特征值

定理1 设A为n阶不可约非负实矩阵且aii≠0，i=1，2，…，n，λ0是A的最大特征值，则对任意正整数k，m，有

证明 因为A非负不可约，由引理4，AT的最大特征值λ0＞0且有与之对应的正特征向量 x =(x1，x2，…xn)T，不妨设则对任意正整数 k ，m，有(Ak+m)Tx = λ0k+mx，(Ak)Tx = λ0kx，由引理1可得

由于 aii≠0，i=1，2，…，n，所以对任意的正整数 k，m，有 ri(Ak) ＞ 0，由引理3 可得，

记 A1=(aij)n×n，构造如下迭代矩阵序列

其中

定理2 设A为n阶不可约非负实矩阵且aii≠0，i=1，2，…，n，λ0是A的最大特征值，令其中 k =1，2，…．

证明 对任意正整数m，由引理2，有

3 算法与数值实验

算法:

步骤1:输入不可约Z－ 矩阵A=(aij)n×n，ε ＞0;

例 设为不可约Z－矩阵，求A的最小特征值

表1 例的计算结果(m=2时)

［1］殷剑宏．非负矩阵最大特征值的新界值［J］．数值计算与计算机应用，2002，23(4):292－295．

［2］章伟，黄廷祝．不可约M－矩阵最小特征值的估计［J］．工程数学学报，2004，21(8):31－34．

［3］段复建，张可村．Z－矩阵最小特征值及特征向量的数值算法［J］．工程数学学报，2007，24(3):563－566．

［4］胥兰，黄廷祝．非负矩阵Perron根的上界序列［J］．高等学校计算数学学报，2007，29(4):297－302．

［5］刘利斌，刘焕文，殷丽霞．不可约Z－矩阵最小特征值的数值算法［J］．工程数学学报，2010，27(1):105－110．

［6］胡家赣．线性代数方程组的迭代解法［M］．北京:科学出版社，1991．

［7］孙继广．矩阵扰动分析［M］．北京:科学出版社，1987，1 －377．