风荷载下植物叶片自适应特性研究

刘旺玉, 李 静

(华南理工大学机械与汽车工程学院,广东广州 510640)

大自然中风的破坏能力可大可小,对于房屋建筑及其他土木工程,人们结合其所受风荷载情况进行研究,设计出能抵抗风荷载的结构[1];而自然生长的植物叶片,其结构无法人为设计,对于它们抵御风荷载的方式,沃格尔博士认为:“建筑的标准是坚固。植物在自然进化中也有个坚固的标准,不过它们的坚固性是靠柔韧性来实现的,而且它们通常只需要很少的材料便可以达到这个目的。”美国纽约大学数学家基于肥皂泡沫和玻璃纤维的实验揭示了植物叶片抗风的基本原理,指出叶脉对植物叶片抵抗环境应力提供了一定的刚度。植物叶片是一种以中心对称和两侧对称为特征的生物体,植物学家进行叶脉脉序特征比较,以期为植物系统分类提供形态学依据;而叶脉的有序分布与环境应力之间的关系则尚无定论。文献[2]认为植物叶脉是叶片刚度的主要贡献者,但没有对这一结论进行证明,并且没有对脉序规律进行定量研究。若揭示出植物叶脉的分布并不是简单的生长,而是对环境应力的生物自适应生长演化的结果,将这种叶脉生长特点运用在一些需要提高抗风性结构上具有重要的现实意义。

本文以石栗和菠萝蜜的新鲜植物叶片样本为例,通过数据采集获取了网状叶脉模型,基于数值模拟方法分析了风荷载下叶片的应力与变形响应,并以最小柔度为目标、体积为约束对植物叶片进行拓扑优化,为仿生机理研究奠定了基础。

1 植物叶片样本建模

为探究自然界中植物叶片的网状叶脉结构与其应力生长环境的关系,采集石栗、菠萝蜜新鲜叶片,建立其叶片模型。

1.1 植物叶片采样

采集的石栗、菠萝蜜新鲜植物叶片样本如图1所示。

图1 新鲜植物叶片样本

石栗属大戟科石栗,常绿大乔木,高可达15m,叶卵形或心形,长10～20 cm,有时掌状三裂,叶背灰白色[3]。菠萝蜜属桑科桂木,常绿乔木,株高8～15 m,叶革质,螺旋状排列,倒卵状椭圆形、椭圆形或倒卵形,长7～15 cm,先端圆钝而有短尖,基部楔形,全缘[4]。

石栗与菠萝蜜叶片在外形及叶脉分布上具有明显的差异性,为了研究植物叶片叶脉分布对植物叶片受力时的应力应变以及叶片外形对拓扑优化后结构的影响,本文选择2种不同的叶片。

1.2 植物叶片模型建立

由于叶片脉序复杂且等级较多,细小网孔状叶脉建模困难,且对叶片承载贡献较大的主要是第1级主脉和第2级侧脉,故取第1、第2级叶脉建立简化模型[5]。本文参考文献[5]的建模方法在ANSYS中对2种植物叶片进行建模。将采集的新鲜叶片利用拍照式三坐标测量仪测得叶片整体点云数据,采用IMAGEWARE筛选出叶片轮廓和叶脉的坐标数据。文献[6]对柳叶石楠(硬叶)和樱花(软叶)的物理与力学参数进行了测量。本文用量程为150 mm,精度为0.01 mm的电子数显卡尺分别对叶肉、主脉和侧脉的几何参数进行测量,叶肉近似等厚,主脉为变截面梁结构,侧脉近似为等截面梁结构;用万能材料试验机分别对叶肉和叶脉进行拉伸试验[6],得到其弹性模量;叶片的泊松比[7]取为0.33。石栗和菠萝蜜叶片力学及物理参数见表1所列。

表1 石栗和菠萝蜜叶片力学及物理参数

根据所得坐标数据、力学与物理参数利用APDL在ANSYS中建立植物叶片有限元模型,植物叶片叶脉采用Beam189单元,叶片薄层采用Shell63单元,取网格边长为0.001 m,对有限元模型进行网格划分,得到的石栗有限元模型包含19 626个节点,19 386个单元;菠萝蜜有限元模型包含15 947个节点,15 758个单元。所建立的有限元模型如图2所示。因为叶柄与树枝的连接是柔性连接,为了更加准确地探究植物叶片自身的特性,在叶片有限元模型中去掉叶柄部分,并在主脉端部多点施加固定约束。

图2 石栗和菠萝蜜有限元模型

2 模拟分析

2.1 风荷载对植物叶片的作用

大多数结构可以忽略风致共振效应,脉动风响应可按静风载方法计算[1]。文献[8]对叶柄的承载性能有较详细的分析,指出在风雨等载荷下,用拖拽系数来表示叶片随风飘曳程度,如图3所示。风作用于叶片的拖拽效果,意味着风载并非垂直作用于叶片,而是成一定的倾角,甚至有可能是平行于叶片,而且风载在叶片的投影分量与叶片主脉平行[9]。为了真实地模拟现实环境中植物叶片承受风荷载的应力应变情况,考虑多方向风荷载进行数值模拟。

图3 植物叶片在不同风速下的拖拽系数

风荷载对植物叶片施加的拖拽力[1,8]为:

其中,ρ为流体密度;U为流体速度;S P为流体移动方向的接触面积;CD为拖拽系数。

2.2 叶脉对植物叶片承受风荷载的影响

植物界中包括真核藻类、苔藓、蕨类、裸子植物和被子植物,其中被子植物是现代植物界中最高级、最繁茂、分布最广的一个类群,分为双子叶植物和单子叶植物,本文针对被子植物进行研究,被子植物均存在叶脉,不同之处在于双子叶植物为网状叶脉,单子叶植物为平行或弧形叶脉。从植物结构上来看,叶脉对承受风荷载的叶片肯定有影响,所以建立不存在叶脉的叶片有限元模型来探讨叶脉对植物叶片的作用。为确保植物叶片承受风荷载时不会失稳,对植物叶片模型进行试运算,并结合简化叶片模型理论计算,确定风速约为0.04 m/s,在此风速下CD=1,植物叶片迎风受到的均布载荷为P=0.5ρU2,其中ρ为空气密度,为1.225 kg/m3;U为风速,得到1级风速下叶片受到的均布载荷为0.001 Pa。

将叶片端部全约束,均布载荷作为压力施加于整个叶片。尽管叶片本身十分柔软,整体拉伸强度不大,但是由于叶片随风调整其位置,使载荷与主要承载组织(叶柄和叶脉)同向,实际上承受的应力大大减小,并且大部分应力由叶脉和叶柄分担[9]。本文仅就植物叶片本身进行研究,忽略叶片在承受外载情况下与叶柄处的弯扭耦合,得到有叶脉和无叶脉叶片多方向风荷载下的最大等效应力与最大等效位移数据,如图4所示,并对有叶脉和无叶脉的应力位移进行定量比较,e表示有叶脉叶片的最大等效应力与最大等效位移相对无叶脉叶片的减少量分别与无叶脉叶片的比值,如图5所示。

图4 石栗及菠萝蜜叶片最大等效应力和位移曲线

图5 e值曲线

从模拟结果可知,有叶脉和无叶脉的叶片应力和位移都随角度的增大而增大;有叶脉叶片的应力位移值比无叶脉叶片的小很多,随着角度的变化,e值均在0.95左右浮动,说明当风荷载方向改变时,叶脉总是具有稳定提高植物叶片整体刚度和强度的能力。

有叶脉叶片的应力云图如图6所示。由图6可以看出,最大等效应力都发生在叶片根部,与悬臂梁结构受载时特点吻合;叶片的较大应力值围绕在主脉与侧脉周围,并沿主脉和侧脉向四周扩散,即应力较大地方必有材料与之相对应,从而可知应力是生长的诱导因素;分析2种叶片的共同点,发现两者的叶片尖端只存在很细小的叶脉,无论石栗还是菠萝蜜叶片,在承受任何方向的风荷载时,其叶片尖端的应力值几乎为零,而其变形值却是最大的,进一步说明叶片在承受外力时,叶脉对抵抗变形起了一定作用。

图6 植物叶片等效应力云图

叶脉体积占植物叶片总体积不足10%,但植物叶片的变形和应力降低了95%左右,正如沃格尔博士所说:“植物擅长运用极少的材料来达到极大的坚固性。”本文选用2种外形不同、叶脉分布不同的植物叶片为研究对象,发现其叶脉均能对提高叶片整体刚度和强度起到极大作用。

3 植物叶片风荷载下自适应拓扑结构

通过上述分析发现,叶脉提高了叶片整体刚度和强度,是植物叶片本身抗风能力的主要作用者。为了研究植物叶片这种有利于抗击风荷载的叶脉形成是否是生物的一种自适应过程,对植物叶片进行深入分析,建立植物叶片边界模型,在最小柔度(最大刚度)的目标下,对不同方向风荷载作用下的叶片进行拓扑优化。

静态应变能C的计算公式为:

其中,K为系统的刚度矩阵;f为载荷;u为载荷f作用下的节点位移矢量;ξ为在载荷f作用下的应变矩阵;σ为应力;V为设计材料的总体积 。

当载荷给定后,结构的应变能越小则表示系统的刚度越大[10]。本文考虑以叶片结构最小柔度(最大刚度)为目标,在主载荷(风荷载)作用下构件的整体最小柔度值可描述为:

其中,xe为设计变量(单元密度)。

采用变密度法来拓扑叶片材料密度与工况载荷之间的关系。将ANSYS中建立的叶片有限元模型导入到 HyperMesh中,应用 Peshell壳单元,此单元具有薄膜、弯曲、横向剪切以及薄膜弯曲耦合的功能,固定叶片端部六自由度,在面上施加风荷载,在OptiStruct中进行拓扑优化分析。

文献[9]对叶片在风荷载作用下进行拓扑优化,但对叶片模型某些尺寸作了一些简化,势必会使分析结果与实际结果有所出入。本文为了使模拟结果更加符合实际情况,对实际叶片外形建模并进行拓扑分析。在对承受不同方向风荷载的叶片进行拓扑优化后,发现叶片拓扑后的图形变化不大,植物叶片对风向变化不敏感。以90°方向风荷载作用下得到的拓扑图形为例,如图7所示,因为2种植物叶片的外形不同,所得拓扑结构的叶脉分布有所不同,但是叶片在风荷载下拓扑出来的材料密度分布与实际叶片的主要叶脉网络具有相似性,可见叶脉中轴图式的分布对叶片的整体刚度贡献最优。

图7 石栗和菠萝蜜叶片拓扑图

4 结束语

本文通过对石栗和菠萝蜜叶片在非失稳范围内承受不同方向风荷载进行数值模拟,发现叶脉确实提高了植物叶片整体刚度和强度。文献[11]认为叶片在生长的过程中,由于风、雨等载荷场的作用,促使叶片形成一种稳定的自适应结构去适应这种环境应力的变化。本文对植物叶片进行风荷载工况下的拓扑分析,得到的叶片拓扑图与实际叶片叶脉结构非常接近,说明叶脉的形成是叶片在外载荷下的一种生物自适应结果,植物叶片的这种自适应结构对抵抗风荷载具有一定的作用。本文只考虑了植物叶片承受的主要载荷——风荷载,所以得到的拓扑图与实际叶片的叶脉网络图并不是完全相同,还需要进一步深入探讨。

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