从静液压强的形成解读阿基米德原理和帕斯卡定律

王绍符 张喜荣

(河北大学 河北 保定 071002) (保定学院 河北 保定 071000)

阿基米德原理和帕斯卡定律是我们再熟悉不过的了，但是对这些知识的认识，从概念的界定(何为“浮力”，何为“加在”液体上的压强等等)，到定律(原理)的适用条件，却一直存在着歧见.笔者也曾对此进行过探讨[1～2]，但都比较孤立，缺少系统地联系.现在从静液压强形成的知识系统高度来审视，这些问题突然都变得简单、明朗起来.

1 静液压强的形成

液体(包括气体，以下同)的压强是怎样形成的？中外教科书历来(直到现在)对此的描述都存在一些瑕疵与疏漏，正因为如此才造成了方方面面的混乱.

我们从教科书上得到的印象是，“重力是使液体产生压强的唯一原因”，即所谓压强的“重力解释”.很多版本教科书对液体压强的描述都是与固体相类比，说：“液体在容器里，就像一摞书放在桌子上一样，书有重量对桌子有压力和压强；液体也有重量，因而对容器的底也有压力和压强；又因为液体能流动，所以对器壁也有压力和压强”.就这样，液体的“压强是由重量产生的”在人们的头脑中就深深地扎下了根，因而也就埋下了后患无穷的种子[3].

其实这种谬误并不难破解，你只要认真思考“没有重量，液体就真的没有压强了吗？”答案是显然的；“没有重量，液体也会有压强.”在失重状态下的水滴，表面张力会将其束缚成球形，发生挤压而产生压强.对于封闭在针管里的药液，活塞和管壁等作用在药液表面上的力，也会使药液发生挤压而产生压强.玩具气球中的气体受气球橡胶膜对气体表面的束缚作用，也会使气体发生挤压而产生压强(此例中重力的作用微乎其微).很明显除了重力以外表面力也是液体形成压强的因素.可见上述教科书的描述是不恰当的，至少说是片面的.

液体属于弹性体，弹性体在发生形变时要产生应力.一般弹性体的形变有多种形式，如拉伸、压缩、弯曲、扭转、剪切等等，各种形变的发生，都会伴随着在弹性体内产生相应的应力.然而液体只有体形变，也就是挤压形变，相应产生的应力就是压强.宏观地说压强所描述的是液体的“挤压程度”，这就是对液体压强的“弹性解释”.其实，早在200多年以前，玻意耳(1627～1791年)就提出了气体压强的弹性解释.

只要是能使液体发生挤压，就能使之产生压强，重力是一种因素，但不唯一，表面力也是一种因素(还有其他如离心场力等，但已不是本文讨论的范围).但是不管是重力还是表面力首要的是要使液体发生挤压形变才能产生压强， 即

“力”与“挤压(形变)”以及“压强(应力)”在概念上是三个层阶，“力”与“压强”之间还隔着一个“挤压”层阶，也就是说重力并不直接导致压强(同样，表面力也不能直接导致压强).如此说来所谓的液体压强的“重力解释”与“弹性解释”也不在一个层阶上.

2 压强的形成与压强的计算

初中各种版本教科书在讲解液体压强时，几乎无例外地都是借助于图1所示装置的实验得出如下结论.

图1

各向同性——静止的液体内部各点，向各个方向都有压强，且在同一点上向各方向的压强大小相等.

水平分布均匀——同一深度(同一水平)各点压强大小相等.

竖直分布不均——随着深度的增加压强增大.

上述实验是定性的，下面将从形成液体压强的表面力和重力等因素分层次地、循序地来探讨液体压强的定量计算.

2.1 只考虑重力(不考虑表面力)

如图2所示，在密度为ρ的液体中， 划出了一个上下粗细均匀，截面积为S的竖直液柱.液柱由液面至深h处.深h处的压强设为p.不考虑表面力，只考虑重力.已知液柱在侧面所受各方向液体的水平压力，大小相等相互平衡.在竖直方向受向下的重力G和向上的液体的压力pS，由于液体处于静止平衡状态，故而可知

pS=G

即

pS=ρghS

从而可得

p=ρgh

(1)

这也就是各种版本初中教科书中所给出的唯一的液体压强计算公式.这样一个不考虑表面力的公式，具有片面性(只是相对压强)，使用不慎就会落入陷阱[3].

但是，这个公式却说明了液体压强的“竖直分布不均——随着深度的增加压强增大”，正是重力作用的结果，这也是浮力存在和阿基米德原理成立的根源所在.

图2

重力与表面力不同，重力作用的特点是分散作用于物体组成的每个细小部分，这就是说重力属于彻体力，也叫体积力或质量力.重力使液体沿竖直方向层层挤压，越往下挤压程度越甚，而在水平方向则挤压程度相同.其结果是在同一水平各处压强大小相等，而沿竖直方向越往下压强越大.

计算式(1)体现了压强形成的重力因素.

2.2 只考虑表面力(不考虑重力)

图3

假设液体不受重力，从而可以只考虑表面力的作用.如图3所示，所划出来的上下粗细均匀，截面积为S的竖直液柱，在侧面水平方向所受周围液体的压力相互平衡.竖直方向受两个力：一个是上表面所受外力向下的压力，大小为p外S，另一个是下表面所受液体向上的压力，大小为pS.液体静止，则此二力为平衡力，故有

pS=p外S

从而可得

p=p外

(2)

不难想到，所划液柱不论在什么深度，所得结果都是一样的.

这就是说表面外力使液体内部产生的压强“分布均匀，处处大小相等，且与外力作用在表面上的压强大小相等”.这也正是帕斯卡定律的实质所在.

计算式(2)体现了压强形成的表面力因素.

2.3 既考虑重力又考虑表面力

真实液体(有重力存在，也有表面力存在)的情景如图4所示.密度为ρ的液体静止在容器中，1与2是在竖直方向高度差为h的两个点.

图4

想像在液体中划出一个上下粗细均匀、截面积为S的竖直液柱.液柱的上底面在点1处，下底面在点2处，且都与液体表面平行.液柱在侧面水平方向所受液体的压力相互平衡.在竖直方向受三个力： 一是受重力，其大小为G=ρghS，二是上底面所受液体向下的压力，大小为p1S，三是下底面所受液体向上的压力，大小为p2S.由于液体静止，根据平衡条件可知

p2S-p1S=ρghS

即p2-p1=ρgh

(3)

式(3)叫做欧拉静液平衡方程或压强差公式.压强差公式对静止平衡的液体普遍适用，式(1)和式(2)是压强差公式在一定条件下的应用.只可惜在我国初高中教科书中不讲这个公式，只讲在特定条件下成立的式(1).

不难想像，即使点1取在液面上，式(3)依然成立.若只考虑重力不考虑表面力，即令p1=0，则

p2=ρgh

此即式(1).

若只考虑表面力不考虑重力，即令g=0，则

p2=p1

此即式(2).

若在同一水平面上，即令h=0则

p2=p1

这表示“水平分布均匀——同一深度(同一水平)各点压强大小相等.”

计算式(3)全面体现了压强形成的重力因素和表面力因素.

3 对帕斯卡定律的解读

审视这个全面反映静液压强形成的压强差公式，即式(3)，若保持液体内任意两点的高度差h不变(这意味着静止、平衡、不流动)，则ρgh=恒量，即

p2-p1=恒量

在此条件下，在点1处另外再增加一个压强Δp1,则在点2处跟着也会增加一个压强Δp2，根据(3)式，有

(p2+Δp2)-(p1+Δp1)=ρgh

比较以上各式，则可知

Δp2=Δp1

这就是帕斯卡定律.这个定律通常表述为：“加在密闭液体上的压强，能够大小不变地传递到液体内各处.”

这个表述很含糊以致引起了不少麻烦.但是与液体压强的形成联系起来，问题就变得非常简单，一些混乱也就迎刃而解了.

3.1 适用条件

静止平衡的液体.静止平衡的液体才符合“任意两点的高度差h不变”这个条件，上述定律表述中的“密闭液体”当属此意.像虹吸现象等流动的液体不适于应用此定律.

3.2 传递的压强

对于已经处于静止平衡的液体，“另外再”增加的压强才是被传递的压强，定律表述中的“加在……上的压强”当属此意.形成平衡的原有压强不在此列.“传递……”只是通俗说法，实际是在液体内各处都各自“增加……”

3.3 忽略重力

在表面力远大于重力的情况下(如万吨水压机)，帕斯卡定律可以表述为：“由表面外力产生的压强，能够按照它原来的大小‘传递’到液体内各处.”[4]这里所说‘传递’的压强，不再限于 “另外”所加， “原有”的形成平衡的压强也在此列；液体在密闭的容器内可以移动，不再限制“任意两点的高度差h不变”，这里的“密闭”又有了新意.

如果重力不能忽略，在水压机的小活塞上加向下的压力，若大活塞不动，则在大活塞处增加的压强遵从帕斯卡定律；若大活塞上升，则不能应用帕斯卡定律；如果重力能够被忽略，则不管大活塞是否移动，都适用帕斯卡定律.

这些问题，如果不是从静液压强形成的系统知识高度来审视是很难说清楚的.

4 对阿基米德原理的解读

当初阿基米德在他所著《论浮体》中的表述是：“物体在液体中减轻的重量,等于排去液体的重量.” 在现在的教科书中阿基米德原理通常表述为：“浸在液体(或气体)里的物体，受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被该物体排开的液体所受的重力.” 这些表述都是来自实验，直到今天在初中物理的教学中仍然是通过实验来验证这一原理的成立，并根据原理的表述写出下列表达式

F浮=ρV排g

(4)

这里不涉及浮力产生的机理.

4.1 浮力的本质与浮力产生的原因

浮力概念最初来自生活中的感受，人的直觉感知物体在水中受到向上托的力，或说减轻了重量.

从液体压强形成的系统探讨可知，物体在液体中所以会受到浮力，是因为液体压强竖直分布不均.在液体中的物体，下面所受到的向上的压力大于上面所受到的向下的压力.这个液体的向上的压力与向下的压力之差(或者说液体压力的合力)就是浮力.这就是浮力的本质所在.

从液体压强的形成来看，压强竖直分布不均完全是重力作用的结果，所以说产生浮力的根本原因是重力——这是多数教科书中始终没有说清楚的问题.

4.2 浮力的计算

既然浮力是液体对物体的向上的压力与向下的压力之差，那么我们就可以很容易根据式(3)也就是压强差公式对浮力进行计算.

可以设想，一个规则的立方体物块，竖直放在液体中，其高度为h,上下底面(横截面)与液面平行，大小为S.则此物块所受浮力

F浮==p下底S-p上底S=(p下底-p上底)S

由压强差公式

p下底-p上底=ρgh

可得

F浮=(p下底-p上底)S=ρghS==ρgV

V为物块排开液体的体积, 此即上述式(4).对于不规则物体，根据压强差公式，用积分的方法，亦可以得到同样的结果[5].

4.3 浮力的界定与阿基米德原理的适用条件

浮力的严格界定应该是符合阿基米德原理所规定的力.与液体压强的形成联系起来，有关浮力的界定和阿基米德原理的适用条件得以澄清.

(1)并非物体所受液体压力的合力都是浮力——浮力的方向是竖直向上的，物体受液体压力的合力不是竖直向上的，不能认作浮力.

下列情形可以认定物体受浮力，并适于应用阿基米德原理：物体浮在液面上，一部分在液面以上，另一部分在液面以下；物体完全浸没在液体之中，或浮于两种液体的界面处，而周围被液体所包围.

水底的树桩、桥墩以及固着于岸壁上凸入水中的岩石等等，均不能认为受到了浮力，也不能应用阿基米德原理计算.

(2)并非物体所受液体向上向下压力差都是浮力——用水封闭在竖直管子中的气泡，虽然上下都有水，但周围不是被水包围，所受向上向下压力差也不符合阿基米德原理所规定的浮力.由此可知，现在教学中流传的“乒乓球漏斗实验”并不能说明浮力的产生原因.

(3)阿基米德原理的适用条件——阿基米德原理属于流体静力学范畴，适用于静止状态的液体(或气体)，且在液体(或气体)中的物体对液体(或气体)无明显相对运动.对于游动的鱼等只能近似地应用阿基米德原理.

从历史上来说，阿基米德原理和帕斯卡定律原本都是实验定律，当时只讲其当然，不问其所以然，在理论上并不清晰，在应用上也存在着一些混乱[6].

自阿基米德(公元前287～前212年)以来，1 800多年以后到17～18世纪相继出现了帕斯卡(1623～1662年),牛顿(1643～1727年)，伯努利(1700～1782年)以及欧拉(1707～1783年)等人，使流体力学发展成了内容丰富、系统完整的一门学科，阿基米德原理和帕斯卡定律也就得到了从系统理论上的整合.然而我们的基础教育教科书还在重演着古老的历史.须知，知识的积累是无限的，现在的知识总量越来越多，然而人的生命的增长是极其有限的.人的一生中受教育，接受前人留下的知识的时间可以说是不好再延长的，因此教学改革应当追求知识的系统整合和简化更新.在这方面赵凯华、罗蔚茵的《新概念物理教程》已有些尝试，德国的KPK物理教材的理念也值得借鉴，而提倡重复历史上走过的繁复的路途，甚至尝试前人的错误，是不符合社会现实的.

参考文献

1 王绍符.初中物理静流体压强宏观解释的思考.物理通报，1996(9)，1996(10)

2 王绍符.基础物理课程中的缺陷.物理教学参考，2000(1～2)

3 王绍符.我从错误中走出来.物理教学，2001(2)

4 (苏)Г.C.Лaндсбрга主编.王子昌译.初等物理学(第一卷第二分册).上海：上海教育出版社，1962

5 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学.北京：高等教育出版社，1995

6 黄敦.阿基米德原理.中国大百科全书物理学Ⅰ.北京：中国大百科全书出版社，1987