水浊度和提热量对太阳池盐梯度层稳定性综合影响

王 华， 孟凡茂， 孙文策， 邹家宁

（1.大连理工大学能源与动力学院，辽宁大连 116024；2.河南理工大学机械与动力工程学院，河南焦作 454000；3.河南理工大学现代教育中心，河南焦作 454000）

0 引 言

盐梯度太阳池由上、下对流层和位于中间的非对流层组成.在非对流层（NCZ，又称为梯度层），密度随深度增加而增加，反方向的温度梯度产生的浮升力会使密度梯度减弱.下对流层（LCZ）是具有均一密度的储热层.如果忽略水平方向上的热损失，下对流层的热量仅以热传导的方式通过NCZ损失掉，所以NCZ相当于一个透明的隔热层.

太阳池是一个方便有效地长期储存太阳能的热利用系统.梯度层（NCZ）将太阳池底部的热盐水与上面的冷淡水分离开，该层阻止收集到的太阳能向上层的热损失.盐梯度太阳池是一个典型的双扩散系统.如果NCZ的密度梯度大于温度梯度引起的反方向密度梯度，那么系统处于稳定的无对流状态，即单纯的导热状态；反之，双扩散系统将不稳定并导致对流发生.因此，太阳池梯度层的局部热盐通量之比很重要.所以有关NCZ的稳定性标准都是关于盐扩散率和热扩散率之比的不同形式的表达式［1～4］.这些标准都是由分析方法推导出的简单表达式.许多研究者对于考虑或者不考虑底部热通量的热盐双扩散系统稳定性作了研究［5～7］.这些研究考虑了温度和盐度随深度呈线性变化、强制性边界条件以及底部热源的热通量为常数的情况.在这些研究中，关于系统稳定性的常微分方程的解根据一系列未知系数确定.实际上太阳池内的温度和盐度很少呈线性分布，强制边界条件也不足以表达其边界上状况［8］.太阳池盐梯度层的稳定性问题是一个典型的非线性分岔问题.对于非线性常微分方程组，有两种方法得到稳定性，一种是在方程组中忽略二阶项，采用Routh－Hurwitz准则确定系统零解的稳定性，这种方法被叫做线性稳定性分析方法；另一种就是采用数值方法的非线性分析方法，这是因为非线性震荡解不能够采用线性的方法得到.文献［8、9］研究了NCZ层中的二维热盐扩散的线性稳定性.他们在研究中将NCZ看成是一个狭窄层或者无限扩展层.文献［8］提出了一个简单的数学方法解决梯度层问题，即采用Galerkin方法得到弱解方程的近似解，临界状态是关于Ra和Ras的表达式.

本文基于Giestas等［8、9］提出的数学公式，但不局限于其分析方法，讨论系统从静止无对流到不稳定状态的转变条件，并研究池水的清澈情况与提热量对梯度层稳定性的影响.

1 控制方程的线性化

为了进行动力稳定性分析，将控制方程转化成Galerkin形式的弱解方程.首先将非线性常微分方程组进行线性化处理，描述不同盐瑞利数Ras条件下的临界稳定性条件Rac对于提热量f、消光系数μ的依赖关系.μ是被测溶液对光的吸收率的大小，溶液越浑浊，消光系数越大，对光的吸收率越大，而光的透射率越小.在二维稳定性研究中，将NCZ看成是具有上下自由表面的长方体形厚平板，上下两侧具有固定的盐浓度.控制方程如下：

以上的方程（1）～（4）分别是连续方程、动量方程以及热和盐扩散方程.其中v是速度矢量；α、β分别是热和盐膨胀系数，单位分别是K－1、m3· kg－1；k T为热扩散系数，m2·s－1；t为时间，s；T和S分别是温度和盐度，单位分别为K、kg·m－3；D为盐扩散系数，m2·s－1.

在下界面上考虑传导热通量和上表面上的对流通量.边界条件如下：

式中：k为梯度层导热系数，W·m－1K－1；h d为梯度层上边界与上对流层之间对流换热系数，W· m－2K－1，d为NCZ厚度，自NCZ下边界算起到上边界的厚度.为了得到量纲一化方程，在流函数、温度和盐度项中加入扰动项，（ψ，T，S）代表扰动项和静态项的总和.所以可以写成

静态项（ψs，Ts，Ss）可以在上述控制方程中根据v＝0和去掉时间项t得到.从而量纲一化控制方程可以写成

式中：Pr是Prandtl常数；τ为反Schmidt数，τ＝ks／k T；上标“ ”表示量纲一化量，下文为了简化，去掉上标“ ”；Ra和Ras分别是热和盐瑞利数：

其中υ表示运动黏度，m2·s－1.在区域｛0＜x＜λ；0＜z＜1｝内的边界条件为

加权剩余Galerkin方法组成试验多项式，假设待求变量等于以下多项式并且采用最小限度表示法，则有

其中a1（t）、a2（t）、b1（t）、b2（t）、c1（t）都是时间t的未知函数，以下简写成a1、a2等，且这些函数形式都能够满足边界条件.λ是x方向上的特征长度.将式（13）～（18）代入式（9）～（11）得到以下非线性常微分方程组：

式中：上标“·”表示时间的导数；L1、L2、L3是周期λ的函数；A是消光系数μ和提热量f的函数.关于L1、L2、L3和A，以及下文提到的Di、E等参数的表达式比较繁琐，文中未给出.与洛仑兹系统相似，以上方程组虽然表面简洁，但是具有极其复杂和有趣的动力学行为.下面主要讨论该非线性系统的稳定性.

2 线性稳定性分析

2.1 渐进稳定性

针对非线性常微分方程组（19）的稳定性分析十分困难，因此忽略所有的二阶项，先进行线性稳定性分析.通过确定特征值实部的符号可以确定系统的稳定性.如果特征值具有负的实部，那么方程组的零解是渐进稳定的.Routh－Hurwitz准则可以用于确定特征值的符号.它给出所有的特征值多项式具有负的实部的充要条件.行列式方程的特征方程如下：

该准则认为如果下式成立，那么所有的根都具有负实部：

其中Ti是如下的连续行列式：

这样，对方程（19）应用此准则，得到如下临界稳定性区域：

2.2 振 荡

对方程（19）进行线性化后的特征方程可以写成如下五次多项式的形式：

其中D1、D2和D3是k和τ的函数，适当选择D1、D2和D3的值使之满足D1＝D3／D2，则式（27）右边的三次多项式可以写成如下形式：

因此得到5个特征值：

当s＝0时，表示常幅对流状态，将s＝0代入方程（27），可以得到系统发生常幅对流的区域：

3 结果与讨论

3.1 临界条件

以上结果将Ra－Ras平面划分为4个区域：稳定性区域（静止无对流）、振荡区域、不稳定对流区域和稳定对流区域.图1中的C、D、B、A分别代表以上4个区域.为了更全面地给出这些区域，图1分别给出对数坐标和常规坐标下的图形.对数坐标下，图1（a）坐标长度平均地分给每个数量级.可见，除了在数量级102～104，临界稳定性Rac和振荡开始的Rao1几乎重合.然而，太阳池一般都具有很高的Ras.比较图1中的两幅图可知，振荡区域主要位于根据渐进稳定性确定的临界稳定性边界之上.

图1 稳定、振荡和稳定对流的临界条件Fig.1 Marginal states for stable，oscillatory motions and steady convection

太阳池梯度层的临界稳定性对整个太阳池的效率起决定作用.本文根据Giestas等［8、9］对于控制方程的处理方法，采用Routh－Hurwitz准则判断渐进稳定性条件，而Giestas等在文献［8］中将振荡开始时作为临界稳定性条件，在文献［9］中，其计算变参数情况下的临界稳定性条件.表1给出以上3个结果的比较，可见，本文结果与文献［8］比较，二者接近，而与文献［9］相差较大.

3.2 消光系数μ对Rac的影响

为研究消光系数对稳定性（Rac）的影响，方程（23）中，因为只有A含有消光系数μ，若给定其他参数的值，比如τ＝0.01，λ＝2.129 8，保留A，得到

根据方程（32），在上对流层厚度以及提热量一定的情况下，方程（32）可以写成Rac＝F（Ras，μ）的形式，从而得到μ与Rac的函数关系.同理，固定μ，可将Rac写成Ras和f的函数形式Rac＝g（Ras，f）.

表1 本文的临界稳定性结果Rac与Giestas等研究结果的比较（Pr＝7，μ＝0.8，f＝0.5）Tab.1 Comparison of critical Rayleigh number determined by this paper and by Giestas，et al.（Pr＝7，μ＝0.8，f＝0.5）

由方程（32）可见，Rac只与A有关，因为A是μ和f的函数，下面分别研究μ和f对Rac的影响.μ代表水体的浑浊程度，若假定盐梯度层的温度梯度一定，不同μ情况下的计算结果反映梯度层于太阳辐射的吸收对该层稳定性的影响，即在温度梯度一定情况下，比较水浊度（消光系数μ）对稳定性系数Rac影响.所以从消光系数本身和辐射吸收两方面研究不同消光系数下的稳定性，得出消光系数和提热量对Rac的综合影响.

（1）盐梯度层静态温度分布

盐梯度层一维稳态导热微分方程可以写成

其中Ts表示稳态情况下的温度.盐梯度层的边界条件为

根据以上边界条件，对方程（33）进行积分，可以得到盐梯度层的静态温度分布表达式：

式中：Ta是环境温度；q（d）是盐梯度层上界面的辐射强度.根据式（36），可以求出梯度层的静态温度分布.

（2）结果与讨论

假定盐梯度太阳池符合以下参数条件：Ta＝293 K，k＝0.6 W·m－1K－1，h d＝100 W· m－2K－1，上对流层厚度dUCZ＝0.2 m，盐梯度层厚度d＝1 m，qd＝50 W·m－2，f＝0.

图2给出μ＝0.2，0.5和0.8时Rac变化曲线，可见稳定性的临界值Rac随μ的变化很小，当保持Ras不变，μ从0.2增加到0.5时，Rac降低1.8%；当μ从0.5增加到0.8时，Rac降低1.2%.所以，对于盐梯度一定的太阳池来说，其稳定性Ra上限，受水体浊度影响很小；当浊度增大后，Rac略有下降.对于同一Rac，μ越大，为保持梯度层稳定状态所需要的盐梯度就越大.

图2 消光系数μ对于Rac的影响Fig.2 The influence ofμon Rac

图3给出当μ分别为0.2、0.5和0.8时，盐梯度层一维静态温度分布情况.由图3可见，由于水体透明度不同，即对太阳光的吸收率不同，μ＝0.2时的温度曲线接近于直线，而μ＝0.8时，温度曲线上部分弯曲.故在同样情况下，清澈的水可容许盐梯度层形成更大的温度梯度；反之，水体越浑浊，梯度层上下界面之间的容许温度差越小.综合比较图2和图3，说明在同样的盐梯度情况下，水体越清澈，保持梯度层稳定性所允许的最大温度梯度越大.

图3 不同μ时稳态盐梯度层温度曲线Fig.3 The steady NCZ temperature profiles for differentμ

3.3 消光系数μ与提热量f对Rac的综合影响

图4给出Ras＝3×105，μ分别为0.8、0.6、0.4、0.2时，提热量f从0增加到1.0时对应的Rac.由图4可见随着提热量增大，Rac增大，即提热量增大，有利于保持盐梯度层的稳定性，这与文献［8～10］中的结论一致.此外，由图4可见，当μ较小时，f的大小对Rac的影响较大；随着μ的增大，f对Rac的影响逐渐减小.这说明当梯度层比较清澈时，提热量的大小对Rac的大小影响较大；当池水比较浑浊时，提热量的大小对Rac的影响较小.当μ＝0.8，f＝0和μ＝0.2，f＝1.0时，对应的Rac分别为2.17×105和7.33×105.从图4还可以看出，各条曲线的交点在f＝0.65附近，在交点左侧，对于同一f，μ越大，Rac越大；而在此交点的右侧，μ越大，Rac越小.这表明存在某个提热量大小，在其附近池水的清澈与否对梯度层的稳定性临界热瑞利数大小影响很小；当提热量小于此值时，随着梯度层内浊度的增大，临界热瑞利数增大，系统趋向稳定；当提热量大于此值时，随着梯度层浊度的增大，临界热瑞利数减小，系统趋向于不稳定.

图4 不同μ时，提热量f对Rac的影响（Ras＝3×105）Fig.4 The influence of f andμon Rac（Ras＝3×105）

4 结 论

本文介绍了盐梯度太阳池梯度层动力稳定性的一种理论分析方法，即采用Galerkin方法将控制方程进行简化处理，忽略其中的非线性项，分析该线性系统的稳定性.根据Routh－Hurwitz准则判断系统的渐进稳定性，然后将Ra－Ras平面划分为4个不同的稳定性区域.在此基础上，分析了消光系数μ和提热量f对于Rac的影响.结果表明，消光系数μ对Rac的影响很小，总之，太阳池梯度层稳定性的热瑞利数上限，受水体浊度的影响很小，当浊度变大后，Rac略有下降.

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