光纤陀螺随机误差的DDS建模方法研究

王志伟，侯书铭，王宏力，吕永佳

（第二炮兵工程学院陕西西安710025）

光纤陀螺随机误差是影响光纤陀螺精度的重要因素，随着随机误差理论及分析方法的不断进步，人们对激光陀螺随机误差的分析也不断深入。尽管ARMA模型已经形成相当完善的理论，而且也广泛应用于光纤陀螺随机误差的分析中去，但是应用前提是光纤陀螺随机误差是线性的。而陀螺的漂移是弱非线性和弱时变的[1]。通过对实测数据的分析，温度等环境的影响会加剧这种非线性，因此为得到更完美的光纤陀螺随机误差模型，笔者提出应用动态数据建模法（DDS建模法）对光纤陀螺随机漂移进行建模。

1 非平稳时间序列的DDS建模步骤

潘迪特和吴贤铭在1986年提出了一套建立ARMA模型的策略和步骤[2]，简称动态数据系统（DDS）。它的主要思想是在获得适用的ARMA（2，1）模型之前，不对观测数据进行平稳化处理，而是在获得适用的模型之后，根据模型的特征根来判断建模对象的平稳性。它对ARMA模型参数的辨识步骤是：先从ARMA（2，1）开始，依次是ARMA（4，3），ARMA（6，5），…，参数估计是用非线性最小二乘法，然后根据残差平方和的F检验确定适用模型，最后去掉模型中小的MA参数，再拟合低阶的ARMA，AR或MA模型，用F检验确定最终的适用模型。F检验的公式为：

建立统计假设：

H0：模型Ⅰ，即ARMA（p，q）适用；

H0：模型Ⅱ，即ARMA（p+Δp，q+Δq）适用，其中：Δp，Δq≥0则统计量：

服从F分布F（4，N－P－ΔP），其中：

A0=ARMA（p，q）的残差平方和RSS；

A1=ARMA（p+Δp，q+Δq）的残差平方和RSS；

N=观测数据长度；

P=p+q；

ΔP=Δp+Δq=4。

从F分布表中可查出，在α=0.05的置信度下，Fα=F（4，∞）=2.37，当F＞Fα时，拒绝原假设，即模型参数少的模型Ⅰ不适用；当F＜Fα时，则接受原假设，模型Ⅰ适用。

2 陀螺漂移的DDS建模

根据非平稳时间序列的DDS建模步骤，对光纤陀螺随机漂移进行建模。建模结果如表1、表2所示。

取光纤陀螺的随机漂移原始数据，直接采用非线性最小二乘法，从ARMA（2，1）开始拟合，辨识出各模型参数，求出残差平方和，同时拟合AR（1）、AR（2）模型进行比较。通过F检验确定适用模型。通过表2可以看出ARMA（2，1）与ARMA（4，3）比较，F统计量的观测值小于临界值，故ARMA（2，1）为相对适用模型；ARMA（4，3）与ARMA（6，5）比较，观测值小于临界值，故ARMA（4，3）适用；同理，再将其他模型相互比较得出最终结论：ARMA（2，1）为适用模型。其模型为：

表1 光纤陀螺随机漂移DDS建模结果Tab.1Result of FOG random error DDS modeling

表2 随机漂移模型F检验数据Tab.2F-test data of radom error modeling

现在来估计模型中的随机斜坡项。DDS建模中，模型残差序列均值不为零，可以利用这个均值估计出随机斜坡项。

对于ARMA（2，1）模型有：

则模型残差序列为：

显然，当ut为零均值白噪声时，残差序列st的均值为零；当ut含有常值偏差时，残差序列的均值不为零。

令：ut=k+ωt

其中，ωt为零均值白噪声，k为常值偏差。则此时st变为：

由建模结果得出，ARMA（2，1）的残差结果为s=0.005 1，标准差为σs=0.034，采样数为1 000，b=0.531 3，所以，k=0.019±0.002。综合上述结果，得到光纤陀螺随机漂移的模型为：

式中：ut=ωt+0.019，ωt～N（0，0.0342）

3 建模结果讨论

由DDS建模方法得到的式（1）也可以变为：

于是可知X轴模型的特征根为：λ1=0.994 4，λ2=0.291 6。对于λ1来说，由于它很接近于1，近似在单位圆上，所以表现为随机游动分量。

将式（5）利用格林函数正交分解得：

对于ARMA（2，1）模型，格林函数Gi为：

陀螺随机漂移的脉冲响应[3]如图1所示。

图1 随机漂移的脉冲响应Fig.1Impulse response of random drift

从图中可以看出，陀螺随机漂移的脉冲响应一开始有很陡的衰减，然后衰减速度减慢，最后基本保持水平，表现出长记忆的特性。由式（5）也可看出，陀螺X轴漂移由两部分组成。第一部分是由特征根λ1=0.994 4引起的慢衰减、强惯性和长记忆的过程，类似于λ=1的随机游动特征。它基本上保持一个固定的水平，衰减很慢，它将引起一个非时变的稳态漂移。换句话说，陀螺一旦受到干扰，将从初始角速度以随机游动方式漂移，因此，角速度误差将随时间增长。而且，因为随机游动的预报误差随时间增长趋于无穷，所以，对随机游动的辨识和估计是陀螺漂移分析中最重要的一个部分。第二部分是由特征根λ2=0.291 6引起的相关噪声分量，如图1中的G1，它呈现出一个指数衰减过程，经过1 000 s就基本衰减到零，所以，它是一个短期过程，而随机游动是一个长期的过程。基于这一点，在陀螺的应用中可以强调这一点而忽略另一个。当然，在应用时间小于相关时间的情况下，相关噪声部分是不能忽略的，相反，如果陀螺的工作时间很长，则可以仅考虑随机游动分量，而忽略相关噪声分量。于是，在船用平台罗经系统和GPS组合系统中，就可以将陀螺随机漂移模型简化为AR（1）模型，并可以很方便的转化为微分方程，放入组合卡尔曼滤波器的系统方程中，进行实时在线辨识和补偿[4]。

4 结论

DDS法在不使用差分算子将非平稳序列平稳化的情况下，就能很准确的估计出特征根的值，这不仅是对数据的精确表达，而且也使对随机游动分量的作用进行定量分析成为可能，从而可以从原始数据中获得更多的信息。

随机漂移误差中的随机斜坡项，可以认为是陀螺静态误差漂移中没有补偿干净的部分，也就是所谓的陀螺随机常值漂移[5]，它在惯性导航系统中引起一定时间不衰减的舒拉振荡误差[6]。通过DDS方法，辨识和估计出陀螺漂移中的随机斜坡项，就可以进行补偿，提高导航精度。同时，在组合系统中也可以实时辨识出陀螺的随机常值漂移，并给予补偿，最后达到提高整个组合导航精度的目的。另外，我们还可以通过谱分析来判断一个陀螺的质量、陀螺的采样周期和上述各个部分的能量，以便更好地选择陀螺，了解陀螺性能并组成导航系统。

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[5]Tang J H，Fu Z X，Deng Z L.Identification method for RLG random errors based on allan variance and equivalent theorem[J].Chinese Journal of Aeronautics，2009，22（3）：273-278.

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