混合算法在轻钢结构优化设计中的应用

周书敬,薄涛,史三元

(河北工程大学土木工程学院,河北邯郸056038)

轻钢结构由于其具有自重轻,抗震性能好及施工速度快等优点而广受青睐,轻钢结构优化设计也成为近年来的一个研究热点[1-2]。蚁群优化(ant colony optimization,ACO)算法[3]是工程中一种常用的结构优化方法,具有并行性好、鲁棒性强等特点,如于永彪等[4]利用ACO算法对轻钢桁架进行了优化设计;吴科等[5]利用基于 TSP模型的ACO算法对刚架结构进行了优化研究。然而工程实践表明,ACO算法存在着求解速度慢且易陷入局部最优的缺点,在结构优化中存在着一定的局限性。粒子群优化(particle swarm optimization,PSO)算法[6]是一种源于鸟群捕食等群体行为模拟的优化算法,具有全局搜索能力强,收敛速度快及与其他算法易结合的特点。本文将PSO算法和ACO算法相结合,在算法初期,利用PSO算法产生出各粒子的初始值,然后利用ACO算法对各粒子的初始值做进一步调整,以达到优势互补。

1 优化原理

1.1 PSO算法

算法初始化为一群具有各自的速度和位置的随机粒子,通过追随当前最优粒子在解空间中搜索,迭代后找到最优解[7-8]。每次迭代中,粒子跟踪个体极值即个体历史最优解Pid,和全局极值即整个种群目前找到的最优解Pgd,并更新速度和位置。

式中,vid—第i个粒子在第d维上的速度;xid—第i个粒子在d维上的位置;ω—惯性权重;r1,r2—均匀分布于[0,1]之间的随机数;c1,c2—加速因子。

1.2 ACO算法

ACO算法是由若干只蚂蚁共同构造解路径,通过在解路径上遗留并交换信息素来提高解的质量,进而达到优化的目的[9-10]。

设m为蚂蚁数,n为城市数,dij为城市i和城市j的距离,τij(t)为t时刻在路径(i,j)上的信息素量,蚂蚁根据各路径上的信息素量决定其移动方向。t时刻蚂蚁k由城市i转移至城市j的概率(t)为

式中,allowedk—蚂蚁 k下一步允许选择的城市, allowedk={c-tabuk};tabuk—蚂蚁k已访问的城市;α—信息启发因子;β—期望启发因子;ηij—由城市转移到城市j的期望程度。

每只蚂蚁走完一步或走完所有的城市后,信息素按下式更新

式中,ρ—信息素挥发系数,ρ∈[0,1];Δτij(t)—信息素增加量;Δ(t)—第k只蚂蚁在本循环中留(i,j)在上的信息量。

式中,Q—体现蚂蚁所留轨迹数量的一个常数; Lk—第k只蚂蚁在本次循环中所走路径的长度。

2 算法混合

利用PSO算法的快速,全局收敛性作为前期搜索,得到各粒子的历史最优位置值;利用ACO算法的正反馈机制,将最优位置值作为后期ACO算法各个蚂蚁的位置,同时将信息素初始分布重新设置。

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2.1 初始最优值的转化

蚂蚁 i位置x(i)对应于PSO算法所求解的各粒子历史最优位置Pid,即

蚂蚁信息素初始分布利用各蚂蚁所在位置的评价函数值[11],如下所示：

式中,u、v—常数,u＞0,v∈[0,1],根据实际问题定义u,v的大小;f(xi)—目标函数值,f(xi)越大,xi所在位置留下的信息素越多。

2.2 蚂蚁总个数的调整

在ACO算法中,蚂蚁的总个数过大,则算法的收敛速度将减慢,过小则易陷入局部最优。综合考虑算法的全局搜索能力和收敛速度两项指标,将m只蚂蚁置于m个节点上,改随机放置为按一定规则作初始分布(均匀分布),算法中城市数n与蚂蚁总个数m有以下关系：n=1.5m。

2.3 全局最优值

结合ACO算法中蚂蚁总个数的调整,利用公式(1)求出蚂蚁的转移概率,利用公式(2)对信息素进行更新,通过ACO算法的算法模型对PSO算法产生的初始最优值做进一步优化,得到全局最优值。混合算法的运算流程如图1所示。

3 轻钢框架结构优化设计

⑴设计变量对于轻钢框架结构,以结构杆件的截面面积Ai、截面抵抗矩Wi以及截面惯性矩Ii(i=1,2,…,n)为设计变量,三者关系如下[12]：

⑵目标函数采用轻钢框架总用钢量(总重量)为目标函数的公式,即

⑶约束条件

a应力约束：σi≤[σi]

b位移约束：ui≤[ui]

c界限约束：Ai∈{E}

式中,σi,[σi]—构件的最不利应力和许用应力; ui,[ui]—特定节点在给定方向上的位移值和位移允许值;{E}—构件截面尺寸变量的离散集合。

⑷优化模型

上述优化设计数学模型可简单表述为

设计变量x

式中,g(x)—约束函数,D—有限个点组成的集合。

⑸求解

将组成解的各分量视为一群随机粒子的初始位置(初始化粒子群),将目标函数(总重量)作为适应度函数;更新各粒子的位置并求解各粒子的历史最优位置,作为各分量的次优解;将蚂蚁的位置对应于所求得的次优解,根据次优解生成信息素的初始分布(初始化蚁群),将目标函数(总重量)看作为蚂蚁经过的总长度;那么该结构优化问题,可看作蚂蚁觅食过程中寻找最短路径的问题。本文运用MATLAB语言进行算法的程序编制,对运行的结果,利用SAP2000结构分析软件进行分析。

表1 许用离散变量表Tab.1 Allowable discrete variable

4 算例分析

轻钢门式钢框架的结构及荷载如图2所示,算例中存在3种荷载工况,弹性模量E=206.88 GPa,材料的容重ρ=76 999.34N/m3,许用应力[σ] =163.86MPa,节点的水平位移上限均为12.7mm,许用离散变量集见表1[13]。

由于结构的对称性及荷载工况II和工况III的反对称性,所以只需考虑两种荷载工况(I,II)即可。本例将3个构件单元分为两组,其中构件单元⑴、⑶为组1,单元⑵为组2。主要控制参数取值为

算法的迭代关系曲线如图3所示,算法曾3次跳出局部极小解,在经过61次迭代后收敛得到全局最优解。

文献[11]利用改进模拟退火算法对轻钢框架进行了优化分析,本文将混合算法的优化结果与改进模拟退火算法的优化结果进行了对比(表2),可以看出,在迭代次数增加的情况下,应用混合算法能够求出更小的目标函数值(总重量),并且在满足约束条件的前提下,节省了用钢量,从而表明该算法应用于轻钢结构优化是可行的。

表2 离散变量优化结果Tab.2 The results of discrete variable optimization

5 结论

1)采用均匀分布策略对初始蚂蚁总个数进行调整,减少了因蚂蚁总个数过大或过小对ACO算法造成的不良影响。

2)在迭代次数增加的情况下,本算法能够求出更小的目标函数值,达到用钢量最省的目的。

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