牛顿求解第一宇宙速度思想的启示

窦文浩

（广州市第二中学 广东 广州 510530）

在讲解“万有引力定律”的内容时，计算星球的第一宇宙速度是一个重点．计算的方法通常是由万有引力提供向心力，根据匀速圆周运动的规律求解．而牛顿在求解星球的第一宇宙速度的时候，用了巧妙的比例和几何方法，体现了微分的思想；同时，是对“月 －地检验”思考的结果．在中学物理教材中，都会提到牛顿的“月－地检验”，而在教学中没有能很好地阐述这一思想的光辉之处．很好地理解牛顿的原始思想，对认识万有引力以及牛顿第一定律具有很大启示意义．同时，在求解高中常常涉及的万有引力习题时，也能开拓新的思路．

1 常规方法求解星体的第一宇宙速度

【例1】求解一质量为M，半径为R的球形星体的第一宇宙速度．

解析：如图1所示，设卫星质量为m，绕星球做匀速圆周运动，轨道半径为r，则有

解得

图1

根据第一宇宙速度的意义知，v应当是卫星绕球形星体做匀速圆周运动刚好不落地时的速度，则r＝R，于是

2 牛顿的思想求解第一宇宙速度［1］

【例2】在地球上，一个物体做平抛运动时，至少需要多大的初速度才不会落回地面？

解析：首先要假定地球是一个半径为R的球体，如图2．假设在A点平抛一物体，平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动．当水平方向位移为x，即半个弦长DB，而竖直方向恰好下落s，即AD高度；平抛的物体恰好不碰到地面，此平抛的初速度即为第一宇宙速度．如下求解此速度．

图2

取1 s的时间，则物体的运动即为严格的平抛运动，而各数量关系依然如图2所示，则由几何关系知△ADB∽ △BDC ，故有

在地球表面，1 s内物体自由下落的高度约为5 m，即s＝5 m；2R是地球的直径，远远大于s，故

所以

所以平抛的初速度（即第一宇宙速度）

牛顿利用其发现的“牛顿第一运动定律”推断，若月球不受外力，则其将沿轨道的切线运动下去，而它却下落了（只是没有落到地球上），轨迹是一段圆弧，类似平抛的轨迹．那么反过来，在地球上一物体的平抛，如果速度恰当（足够大），则其轨迹将如月球的轨迹一样，是一个圆，这个恰当的速度就是第一宇宙速度．这就是牛顿“月－地检验”的思考．上述的解题步骤正是依据这一思想．当然，在1 s内月球“下落”的高度与地球表面平抛物体“下落”的高度是不同的，但成比例，比例关系正是满足牛顿所总结出的平方反比定律．

点评：

（1）牛顿的方法看似比常规方法复杂，却体现了最一般的推理过程：利用牛顿第一定律，揭示了圆周运动所蕴涵的力的作用特点—— 指向有心力的力心．

（2）在计算的处理中，利用微分近似代替的思想，将看似两种不同的运动即平抛运动与圆周运动统一起来，化曲为直．同时，略去无穷小量，体现了微分近似代替思想的精髓．

（3）用最简单的规律，加上巧妙的数学处理手段，是物理竞赛中常常应用的方法，正是物理所要培养的思维品质．

3 牛顿的方法在常规教学中的体现

3． 1 平抛运动的实质

如图3［2］所示，从地球上某一高塔处平抛一小球，初速度分别为v1，v2，v3和v4，则其运动的轨迹分别为1，2，3和4；这些轨迹都是以地球的质心为一个焦点的椭圆．

（1）轨迹1，2是假定地球物质全部集中在质心处时才可能的轨迹．实际情况中，抛体不可能完整地进行这一椭圆运动，这一轨迹与地球表面的交点就是落地点．可见，物体平抛运动的轨迹实质上是此椭圆轨迹的一部分．

图3

（2）轨迹3是一个圆轨迹，可以看做是两焦点重合的一个椭圆，它是轨迹2向轨迹4过渡时即地球质心作为下焦点向作为上焦点过渡时，焦点在地球质心重合的情况．塔高相比地球的尺度，是可以忽略的，故轨迹3的半径就是地球半径，v3就是第一宇宙速度．

3． 2 牛顿思想的应用

【例3】如图4所示，两颗地球卫星运行轨道分别为1和2，两轨道在P点相切，则在切点处，1号卫星和2号卫星的速度大小关系如何？

图4

图5

解析：可以把P点附近的轨迹放大，如图5所示．根据牛顿的思想，则图5所示的两条轨迹即为两平抛运动的轨迹（当然，这里的重力加速度g不再是地球表面的值）．那么，根据平抛运动的规律，在同一高度抛出的两物体，初速度越大的，水平射程越大；可以得知，在P点2号卫星的速度大于1号卫星的速度．

1 （美）费恩曼．费恩曼物理学讲义（第一卷）．上海：上海科学技术出版社，2005．70

2 （美）休D·杨，罗杰 A·费里德曼．西尔斯物理学（上册）．北京：机械工业出版社，2008．367