妙用微积分知识解决一个物理疑难

李小棣

（安徽省巢湖一中 安徽 巢湖 238000）

现行高中数学课本选修内容中已有了导数与微积分知识．笔者在物理教学和竞赛辅导中用微积分知识为学生解决疑难，收到了非常好的效果；同时也使学生认识到数学知识在解决物理问题中的重要作用．本文仅举两例说明．

【例1】在光滑的水平面上放着一个上部为半圆形光滑槽的木块，开始时木块是静止的，把一个小球放到槽边从静止开始释放，关于两个物体的运动情况，下列说法正确的是

A．当小球到达最低点时，木块有最大速率

B．当小球的速率最大时，木块有最大速率

C．当小球再次上升到最高点时，木块的速率为最大

D．当小球再次上升到最高点时，木块的速率为零

笔者所见的资料中给出的答案都是A，B，D．笔者认为此题的B选项是错误的，下面作一推导．

图1

为简化起见，可假设小球和木块质量相等均为m，如图1．小球下滑至某点B时相对木块的速度为v2，木块对地速度为v3，小球对地速度为v1．由系统水平方向动量守恒知小球此时对地水平分速度大小亦为v3，小球与球心连线与竖直方向夹角为θ，由系统机械能守恒得

又由几何关系易知

联立（1）、（2）两式得小球对地速率

将（4）式求导数并令导数为零，即

由此可见在小球和滑块质量相等时，小球速率最大是下滑至如图1所示θ≈35．26°位置，原题B选项错误．本题中小球下滑至底部时木块的速率最大，而小球速率不是最大．故此题正确答案应为A，D．

下面一题是笔者在竞赛辅导中遇到的，用常规解法十分复杂，学生也容易出错，笔者用微积分知识给出题解非常简洁．

【例2】由粗细均匀的同一种电阻丝制成的半径为R的圆环置于匀强磁场中，磁感应强度为B，方向与环面垂直，并指向纸面内．现以速度v将环以垂直于磁场方向匀速拉出磁场，磁场边界图中用虚线表示，v的方向与边界垂直，如图2所示．求此过程中环中发热量为多少．设电阻丝单位长度的电阻值为r0，环电感忽略不计．

解析：设圆环匀速拉出在时间t～t＋d t时间内产生的感应电动势为E，则此时环切割磁感线的有效长度为，感应电动势

回路中感应电流

由焦耳定律，利用微积分知识易知以速度v将环以垂直于磁场方向匀速拉出磁场过程中环的发热量为

图2

这一结果说明：

（1）若用相同的电阻丝制成的圆环，且B，v相同，则Q∝R2；

（2）若为同一电阻丝圆环，且B相同，则Q∝v．

1 程稼夫．中学奥林匹克竞赛物理教程·电磁学篇．合肥：中国科学技术大学出版社，2009．341