一类高阶齐次线性微分方程解的复振荡

金 瑾

（贵州省毕节学院数学系，贵州毕节551700）

文中采用Nevanlinna值分布理论的标准记号[1-15]，用σ（f）表示亚纯函数f（z）的增长级，设二阶线性微分方程

其中，Aj（z）（≢0）（j＝0，1）是整函数，且σ（Aj）＜1，aj∈C－｛0｝（j＝0，1）。陈宗煊[1]研究了微分方程（1）的解的增长性问题，大大推广和完善了Frei M[2]，Ozawa M[3-4]，GundersenG[5]，Langley JK[6]关于二阶线性微分方程 f″＋e－zf′＋Q（z）f＝0（其中 Q（z）为有限级整函数）解的增长性的结果。文献[7]和[8]进一步研究了对应于微分方程（1）的高阶线性微分方程

解的增长性，其中文献[8]对aj的幅角主值均相等的情形进行了统一的讨论，得到了解的增长性的精确估计。本文研究了更一般的微分方程

得到了下述结论。

定理 设pj（z）＝ajzn＋bj，1zn－1＋…＋bj，n－1z＋bj，n（j＝0，1，2，…，k－1）为 k（k≥2）个 n 次多项式，bj，i∈C（j＝0，1，2，…，k－1；i＝1，2，…，n），aj∈C－｛0｝（j＝0，1，…，k－1），Aj（z）≢0和Dj（z）都是整函数，σ（Dj）＜1，σ（Aj）＜n（j＝0，1，2，…，k－1）。如果存在ad（0≤d≤k－1），as（0≤s≤k－1）使得argad≠argas，aj＝αjas，0＜aj＜1（j≠d，j≠s），且存在线性测度为零的集合 E⊂［0，2π），使得对任一射线 arg z＝θ∈［0，2π）－E，有δ（pd，θ）δ（ps，θ）＜0。则方程（3）的任意非零解f（z）满足 σ（f）＝ ∞。

1 证明定理所需的引理

引理1[9]设f（z）是超越亚纯函数且σ（f）＝σ＜＋∞，H＝｛（k1，j1）（k2，j2），…,（kq，jq）｝是不同的整数对的有限集合，满足 ki＞ji≥0（i＝1，2，…,q）。假设 ε＞0是个给定常数，则存在一集合E⊂［0，2π），其线性测度为零，使得如果 φ∈［0，2π）－E，则存在常数R0＝R0（φ）＞1，对满足argz＝φ及｜z｜≥R0的所有（k，j）∈H都有

引理 2[1]假设 p（z）＝（α＋βi）zn＋…是多项式且 deg p＝n≥1。A（z）≢0 是整函数，且 σ（A）＜n。令 g（z）＝A（z）ep（z），z＝reiθ，δ（p，θ）＝αcosnθ－βsinnθ，则对∀ε＞0，存在线性测度为零的集合 H1⊂［0，2π），使得对∀θ∈［0，2π）－（H1UH2），存在 R＞1，对所有有

（1）如果 δ（p，θ）＞0，则

exp｛（1＋ε）δ（p，θ）rn｝。

（2）如果 δ（p，θ）＜0，则

exp｛（1－ε）δ（p，θ）rn｝。

其中 H2＝｛θ∈［0，2π）；δ（p,θ）＝0｝是有限集。

引理3 假设函数

p（z）＝（α＋βi）zn＋…（α，β∈R，是多项式，并且 deg p＝n≥1，A（z）≢0是整函数，且σ（A）＜n。再假设p1（z）＝a1zn＋a2zn－1＋…是一元n次多项式，其中c1＞0，a1＝c1（α＋iβ），令g（z）＝A（z）ep1（z），z＝reiθ，δ（p1,θ）＝c1（αcosnθ－βsinnθ）＝c1δ（p,θ），则对∀ε＞0，存在线性测度为零的集合 H1⊂［0，2π），使得对∀θ∈［0，2π）－（H1UH2），存在 R＞1，使得对所有有

（1）如果 δ（p，θ）＞0，则

exp｛（1－ε）c1δ（p，θ）rn｝

exp｛（1－ε）c1δ（p，θ）rn｝。

其中 H2＝｛θ∈［0，2π）；δ（p,θ）＝0｝是有限集。

证明 令 g（z）＝h（z）ec1（α＋iβ）zn，其中

h（z）＝A（z）ep*（z），p*（z）＝p1（z）－c1（α＋iβ）zn。

则 σ（h）＝s＜n。 由引理 1，对∀ε（0＜2ε＜n－s），存在一线性测度为零的集合 H1⊂［0，2π），对∀θ∈［0，2π）－（H1UH2）（H2＝｛θ∈［0，2π）；δ（p,θ）＝0｝是有限集），存在R0＞1，使得对所有满足argz＝θ和

exp｛（1＋ε）c1δ（p，θ）rn｝。

（2）如果 δ（p，θ）＜0，则

exp｛（1＋ε）c1δ（p，θ）rn｝的z有取积分路线 C＝｛z：argz＝θ，R0≤

其中M＞0是常数。故

所以

所以存在R＞R0，使得对所有的r＞R都有

（1）如果 δ（p，θ）＞0，则

exp｛（1－ε）c1δ（p，θ）rn｝

exp｛（1＋ε）c1δ（p，θ）rn｝。

（2）如果 δ（p，θ）＜0，则

引理4[7]设f（z）是整函数，若在射线argz＝θ上是无界的，则存在一无界数列 zn＝rneiθ（n＝1，2，…）（其中n→∞时，rn→∞）满足

和

引理5[8]设f（z）是整函数，且σ（f）＝σ＜＋∞，如果存在线性测度为零的集合E⊂［0，2π），使得对任一射线argz＝θ∈［0，2π）－E，有f（reiθ）≤Mrk（其中M ＝ M（θ）＞0为常数，k（＞0）是依赖于θ的常数）。则f（z）为多项式且 deg f≤k。

2 定理的证明

令 z＝reiθ，因为 argad≠argas，aj＝αjas，0＜αj＜1（j≠d，j≠s），由引理2和引理3，对ε＞0，存在线性测度为零的集合 H1⊂［0，2π），使得对∀θ∈［0，2π）－（H1UH2）（H2＝｛θ｜θ∈［0，2π），δ（pd，θ）＝0｝是有限集），存在 R1＜1 使得对所有的｜z｜＝r＞R1有

（Ⅰ）如果 δ（pj，θ）＞0 ，则所有z有

（Ⅱ）如果 δ（pj，θ）＜0，则

对任意的射线 argz＝θ∈［0，2π）－（EUE1UH1UH2），注意（EUE1UH1UH2）的线性测度为零，当n充分大时，分两种情形讨论：

情形 1：当 δ（pd，θ）＞0，δ（ps，θ）＜0 时，有

将（4）（7）（8）（9）代入方程（3）得

其中M1为正常数。即

由ε的取法可知，

情形 2：当 δ（pd，θ）＜0，δ（ps，θ）＞0，则

又因为

由 ε 的取法可得，（1＋ε）αj－（1－ε）＜0，从而

将（14）代入（13）得

将方程（3）变形为

且由（4）和（17）可知，存在正常数 M3，当 rm充分大时，有

将（11）（12）（13）（18）代入（16）得

故

由ε的取法可知

由上所述和引理5，并注意EUE1UH1UH2的线性测度为零，可知f（z）是多项式，这与 f（z）为超越函数矛盾。故方程（3）的所有超越解f（z）具有无穷级，即 σ（f）＝∞。

进一步地，假设f（z）是方程（3）的多项式解，且degf＝q。

当 d＞1，q≥d时，有

因为 argad≠argas，aj＝αjas，0＜αj＜1（j≠d，j≠s），所以由引理2和引理3可知，对任意给定的ε∈存在射线 argz＝θ，满足θ∈［0，2π）－（EUH1UH2），且 δ（pd，θ）＞0，δ（pj，θ）＜0（j≠d），当 r充分大时有（7）和（8）成立。由（7）（8）和（20）得到

其中M5是大于零的常数。从而

由ε的取法可知，不等式（21）不可能成立。

当 d＞1，q＜d 时，取 θ∈［0，2π）－（EUH1UH2），使得 δ对∀ε∈（0，β），当r充分大时，有

其中M6和M7是大于零的常数。从而

故

当d≤1时，与d＞1，q≥d时的证明可知方程（3）的任一个非零解都具有无穷级。

综上所述，方程（3）的任意非零解 f（z）满足σ（f）＝∞。

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