函数连续性与一致连续性的探讨

2011-04-13 08:23周明益扬州工业职业技术学院基础部江苏扬州225000

长江大学学报(自科版) 2011年25期

周明益（扬州工业职业技术学院基础部，江苏扬州225000）

函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容，函数f（x）在某区间内连续，是指函数f（x）在该区间内每一点都连续，它反映函数f（x）在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数f（x）在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数f（x）的变化趋势及性质。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，笔者对函数一致连续性的概念、判定条件以及两者之间的联系进行了深入的分析和总结。

1 函数连续的局部性

定义1函数f（x）在∪（x0）内有定义，则函数f（x）在点x0连续是指 ∀ε＞0，∃δ＞0，使得当｜x-x0｜＜δ时，有：

函数f（x）在点x0处连续，是否意味着f（x）在x0的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的[1]。如函数y＝xD（x）只在x＝0连续；函数y＝（x-1）（x-2）D（x）仅在x＝1，x＝2连续；又如函数：

容易证明这个函数在任意点是连续的，却不能一笔画出函数在x＝0的任意小邻域内的图形。上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解f（x）在x0连续。当且仅当f（x）在x0的邻域∪（x0，δ）内每一点都连续，才能说f（x）在x0的邻域内连续。函数在点x0处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意。但是，如果在连续点x0的函数值f（x0）≠0，那么上述情形就不会出现。

命题1设f（x）在x0连续，且f（x0）≠0，则一定存在x0的某个邻域，使f（x）在此邻域内连续。

证明因f（x）在点x0连续，即 ∀ε＞0，∃δ＞0，使得 ∀x∈∪（x0；δ）有：

现对 ∀x′∈∪（x0；δ），由式（3）显然有：

又f（x0）≠0，当δ充分小时，由局部保号性有：

即f（x′）≠0，从而有：

可见f（x）在x′连续，由x′的任意性，知f（x）在x0的δ邻域内连续。

因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。

2 函数一致连续的整体性

连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要。因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一。

定义2设函数f（x）在区间I上有定义，若对 ∀ε＞0，∃δ＝δ（ε）＞0，∀x′，x″∈I，只要｜x′-x″｜＜δ，有：

则称函数f（x）在区间I上一致连续[2]。

定义2中的“一致”指的是什么呢？只要与函数f（x）在区间I上连续的定义进行比较，不难发现，连续定义中的δ，不仅仅依赖于ε，还依赖于点x0在区间I中的位置，即δ＝δ（ε；x0）；而f（x）在I上一致连续是指，存在这样的δ，它只与ε有关而与x0在区间I中的位置无关，即δ＝δ（ε）。也就是说，如果函数f（x）在区间I上连续，则对任意给定的正数ε，对于I上的每一点x0，都能分别找到相应的正数δ，使得对I上的任意一点x，只要｜x-x0｜＜δ，就有｜f（x）-f（x0）｜＜ε，其中δ＝δ（ε；x0）。对于同一个ε而言，当x0在I上变动时，δ的大小一般也随着改变，即δ依赖于x0。

如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点x0在I上的位置无关，那么这时f（x）就在I上一致连续。可见“一致”指的就是存在适合于I上所有点x的公共δ，即δ＝δ（ε）。直观地说，f（x）在I上一致连续意味着：不论两点x′与x″在I中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可以使｜f（x′）-f（x″）｜＜ε。

这里可能会产生这样的疑问：既然对I中每一个点x0都能找出相应的δ（ε；x0），那么取这些δ（ε；x0）的最小者或者是下确界作为正数δ（ε），不就能使其与点x0无关了吗？事实上，这不一定能办得到。因为区间I中有无穷多个点，从而一般地也对应着无穷多个正数δ（ε；x0），这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零[3]。

所以，f（x）在区间I上一致连续，反映出f（x）在I上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体性质。