基于受控递归算法的时频分析

王宏伟，赵国庆，王玉军，鲍 丹，朱 燕

(1. 西安邮电学院通信与信息工程学院 西安 710121; 2. 西安电子科技大学电子对抗研究所 西安 710071)

传统的时频分析方法有短时傅里叶变换(STFT)、滑动DFT和滑窗FFT等[1-4]。STFT受测不准原理制约，时、频分辨率较差；单点滑动DFT运算速度快，但数据不能在时域加窗以减小频谱泄露[5-9]；滑窗FFT由于使用了技术成熟的FFT器件，运算速度较DFT快，但只能计算离散频率点的频谱[10]。在实时二维时频分析中，有时只需要分析一段时间内的某一中心频率附近的局部频谱，如果用滑窗FFT实现，则只能计算出全部离散频谱。

本文提出的受控递归算法，不仅时间分辨率和频率分辨率可调可控，而且所分析频率在频率轴上可以选取任意实数值。该算法具有运算速度快，数据存储量少，时频参数测量精度高等特点。文中给出的IIR滤波器组内基本递归单元可独立增减和使用，也可和现有的信号处理工具、算法配合使用，为各种应用系统的智能化、开放式设计提供了坚实的基础。

1 滑窗FFT算法的结构

图1a为滑窗FFT算法的结构图，时域数据流加窗后经过FFT模块，以N点为单元分段作FFT运算(N为窗口宽度，每一段数据称为一帧)，时域数据流被源源不断地转化为频域数据流。滑窗FFT的数学表达式为：

式中，s(n)为输入的时域数据；w(i)为窗函数，窗口的宽度决定了参与运算的一帧时域数据长度；n为时刻点，决定参与运算的时域数据帧的起始位置；k为信道号或离散频率；y(n,k)表示n时刻第k个信道输出的频域复信号，代表信号在离散频率点k处的傅里叶变换系数。N个系数共同构成n时刻N长时域数据对应时间段内的频谱分布，随着n的推移(数据帧滑移)，不同时刻点的频谱共同构成信号二维时频分布。基于滑窗FFT算法的频谱分析相当于将全局频段fs(采样频率)均匀地划分为N个离散频谱(信道)，其输出值(谱线)从唯一的通路中依次串形输出，相邻谱线间隔fs/N。

滑窗FFT运算和短时傅里叶变换(STFT)不完全相同，滑窗FFT运算的窗口长度不必受“短时”限制，工作时相邻数据帧间大部分数据是重叠的。

图1 滑窗FFT算法的串入串出结构

2 递归算法的结构

图2 递归算法的串入并出结构

图2的并行结构有两个特点，一个是逻辑上相邻的信道对应到物理上的通路不一定要相邻，即各通路间是相互独立的；另一个是从宏观上看，器件规模庞大，但每一路迭代运算只需要一个加法器、一个乘法器和一个锁存器，通路内部器件简单，各通路结构相同，易于集成使用，数据存储量少，资源占用量与工作参数的变化无关。

递归算法建立在有限长数据的离散时间傅里叶变换基础上，因此具有许多和离散傅里叶变换相似的性质。

1) 线性性质：递归算法属于线性变换，不会产生新的频率分量，不会受交叉项干扰。

2) 周期性：周期为fs。

3) 对称性：在0～fs范围内实信号的频谱以fs/2中心对称，计算时只考虑主区间0～fs/2即可。

3 基于递归算法的IIR滤波器结构

3.1 基本递归单元的原理图和功能框图

单一通路又称为基本递归单元(或细胞)。根据式(6)给出基本递归单元的原理图和功能框图如图2所示。

图2 基本递归单元(细胞)的原理图和功能框图

3.2 常用功能结构图

由于单一通路所分析频率f可以在频率轴上选择任意实数频率，且参数n(时刻值)和N(循环迭代次数)也可以独立选取，所以从理论上讲，整个二维时频谱的计算完全可以由单一通路完成。但是，为了提高时频分析效率，一般需要多个通路(细胞)集成为不同结构的IIR滤波器组来完成某些功能，滤波器组内各通路并行工作，通路数目M根据需要可独立增减。

图3 IIR滤波器组常用功能结构图

4 仿真实验

实验1 受控递归算法与滑窗FFT算法比较。

滑窗FFT算法与离散频率(即fs/N的整数倍频率)点的受控递归算法比较，无论是幅度频谱图还是相位频谱图都完全相同，验证了受控递归算法的正确性。但是基于受控递归算法的图3a结构内部各通路并行运算，每单个通路的运算量只有200次复乘(加)，则受控递归算法的运算量也仅有200次复乘(加)，而滑窗FFT算法需要近1 600次复乘(加)，若N很大，则受控递归算法的计算量减少更明显。

图4 滑窗FFT算法与受控递归算法比较图

实验2 频谱细化及频域参数测量

为了进一步分析频谱细节，调整图3a结构的各通路频率，对准有信号(或感兴趣)的局部频段进行频谱细化分析。局部频段分析时，各通路频率设置可参考：

图5 频谱细化及频域参数精确测量

系统可根据实际需要，有选择地计算任何时刻起点的一帧N长时域数据的任意局部频段的近似连续谱线或离散谱线，比只能计算全部离散谱线的滑窗FFT算法更加经济有效，更加灵活。

实验3 二维时频分析及时域参数实时测量

在二维时频图分析中，系统可以根据各路输出结果，调整工作参数。在显示器上观察不同参数条件下信号实时动态变化的特点。系统也可以在脱机条件下，针对信号特点，寻找最佳工作参数并精确测量时频参数。

图6 二维时频动态分析图

式中，n0为研究开始时刻点；M为所利用的通路数目；nm,j表示第m路细胞第j级流水作业时数据帧的起始时刻点。

控制参数：各路所分析频率均为f0=20 MHz，d=1，N=200，n0=0，各通路数据帧起始时刻按式(8)和式(9)设置。将不同级流水作业的结果拼接后，得到载频f0=20 MHz的脉冲信号时域参数测量图如图7所示。

图7 时域参数实时测量图

实验4 时间分辨率和频率分辨率调整

递归运算的频率分辨率Δf和时间分辨率Δt受采样频率fs、窗口宽度N(等于循环迭代次数)、窗函数形状等因素的影响[3]。Δf正比于fs/N，Δt反比于fs/N。N变大，频域分辨率提高，而时域分辨率下降，二者仍然受制于“测不准原理”。

图8 参数N对时间分辨率和频率分辨率的影响

5 结 束 语

本文提出的受控递归算法非常适合对局部频段实时地进行时频分析和参数测量。系统应根据某种规则做出控制参数的调整与设置，使系统在保证实时性、时间分辨率、频率分辨率、时频参数测量精度等性能指标时统筹调度资源，协调工作。

[1] TSUI J. 宽带数字接收机[M]. 2版. 杨小牛, 陆安南, 金飚, 译. 北京: 电子工业出版社, 2002.TSUI J. Digital techniques for wideband receivers (Second Edition) [M]. 2nd ed. Translated by YANG Xiao-niu, LU An-nan, JIN Biao. Beijin: Publishing House of Electronics Industry, 2002.

[2] 王小龙. DFT和交替DFT调制滤波器组设计算法研究[D].西安：西安电子科技大学, 2008.WANG Xiao-long. Design algorithms of DFT and interleaved DFT modulated filter banks[D]. Xi’an: Xidian University, 2008.

[3] DRESSLER K. Sinusoidal extraction using an efficient implementation of a multi-resolution FFT[C]//Proceedings of Ninth International Conference on Digital Audio Effects.Canada: Digital Media, 2006.

[4] TOMIOKA T, TOMIZAWA T, KOBAYASHI T. Highsensitivity carrier sensing using overlapped FFT for cognitive radio transceivers[C]//VTC Spring, 2009. [S.l.]:[s.n.], 2009.

[5] JACOBSEN E, LYONS R. The sliding DFT[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2003, 20(3): 74-80.

[6] 黄寒华. 关于滑动DFT算法中的频谱泄漏问题的探讨[J].现代电子技术, 2007, 24: 201-203.HUANG Han-hua. An exploration of the sliding DFT spectral leakage[J]. Modern Electronics Technique, 2007, 24:201-203.

[7] 黄寒华. 实时谱分析的优化算法——滑动DFT[J]. 金陵科技学院学报, 2006, 24: 202-204.HUANG Han-hua.The optimized algorithm of real-time spectral analysis—sliding DFT[J]. Journal of Jinling Institute of Technology, 2006, 24: 202-204.

[8] LOPEZ-RISUENO G, GRAJAL J, SANZ-OSORIO A.Digital channelized receiver based on time-frequency analysis for signal interception[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2005, 41(3): 879-898.

[9] LOPEZ-RISUENO G, GRAJAL J, YESTE-OJEDA O A, et al. Two digital receivers based on time-frequency analysis for signal interception[C]//International Conference on Radar (Radar 2003). Adelaide, Australia: [s.n.], 2003:394-399.

[10] 刘平, 靳成英, 陈曾平. 一种基于短时FFT的宽带数字接收机设计[J]. 信号处理, 2008, 24(6): 988-991.LIU Ping, JIN Cheng-ying, CHEN Zeng-ping. A short-time FFT based design for wide band digital reconnaissance receiver[J]. Signal Processing, 2008, 24(6): 988-991.