Turbo 码的Taylor-Log-MAP译码算法✴

李思佳，毛玉泉，郑秋荣，张建安，李波

（空军工程大学电讯工程学院，西安710077）

Turbo 码的Taylor-Log-MAP译码算法✴

李思佳，毛玉泉，郑秋荣，张建安，李波

（空军工程大学电讯工程学院，西安710077）

以Turbo码基本理论和算法为基础，依据无线信息传输的实际要求和Taylor级数的基本原理，提出了一种Turbo码的Taylor-Log-MAP高效译码算法。该算法对基本的Log-MAP算法中K运算利用Taylor级数进行展开，针对实际的信道需求对展开式进行截断，实现了Turbo码的最佳译码。与传统的对数域最大后验概率译码算法相比，该算法基本保持了优良的译码性能，同时避免了复杂的对数运算，减小了运算量。仿真结果表明，与现有的RS码性能相比，使用Turbo码可以获取5 dB的信噪比增益。

战术数据链；Turbo码；Taylor定理；最大后验概率译码；误码率

1 引言

采用高性能的信道编码方式是增强战术数据链（Tactical Digital Information Link，TADIL）战时信息传输可靠性的有效手段。现有TADIL系统使用的信道编码为RS码，最为典型的战术数据链Link-16使用了RS（16，7）和RS（31，15）码，两者分别能纠4和8个错误，相同条件下RS码的误码率比Turbo码大许多［1］。因此，使用Turbo码来提高TADIL信息传输可靠性成为了下一代TADIL的一种有效手段。

Turbo码的实现难点是译码算法的简化。经典的Turbo译码算法可以分为三大类——标准MAP译码算法［2］、Log-MAP译码算法［3］和改进型Viterbi译码算法［4］，这3种方法都实现了Turbo码的有效译码，其共同特点是译码算法较复杂，电路实现难度较大；但由于Log-MAP算法的数值动态范围小且易于实现而被广泛研究。Max-Log-MAP算法［5］是Log-MAP的简化译码算法，这一算法大大简化了Turbo码的译码过程，但带来至少0.3 dB的信噪比损失。为了减小损失，大量文献对Max-Log-MAP算法进行改进［6，7］。文献［8］通过增加线性参数分量，减小了Max-Log-MAP信噪比的损失，但线性参量的估计过程非常复杂；文献［9］从理论和硬件实现两个方面考虑，有机结合了运算的并行处理，实现了译码算法的简化，但未能避免信噪比的损失。考虑到TADIL关注的核心是传输可靠性问题，本文基于Log-MAP译码方式，对其译码过程中的K运算利用Taylor定理进行展开，进一步结合实际通信要求，对展开式进行截断，完成了Turbo码的译码。这种Turbo译码算法保持了Log-MAP译码算法的良好性能，又简化了Log-MAP算法的运算复杂度，因而属于最优译码范畴。仿真结果表明Turbo码可以获得5 dB信噪比增益。

2 基于Taylor定理的MAP译码算法

2.1 标准MAP迭代译码算法

标准Turbo码的译码器由两个相同的1／2码率卷积译码器组成。如图1所示，S表示接收的信息位；P1、P2表示接收第一、二路的校验位；SISO（Soft in-soft-out）表示软入、软出的MAP解码器，输出S的外信息和硬件判决。Turbo译码方法是串行迭代的过程，综合文献［10］，下面总结了Turbo译码迭代算法的简要过程。

步骤1：第一次迭代，第一个SISO的MAP解码器以S和P1为输入，产生外信息E1；

步骤2：第二个MAP解码器以P2和外信息E1为输入，产生外信息E2；

步骤3：第二次迭代，第一个解码器以S′、P1和E2为输入，产生外信息E′1；

步骤4：第二个解码器以P2和外信息E′1为输入，产生外信息E′2。

每一码元依照步骤1～4，完成Turbo译码算法的迭代过程。

图1 Turbo解码器Fig.1 The turbo decoder

在BPSK调制、高斯信道和相干解调条件下，接收码字和编码码字之间的关系如公式（1）所示：

式中，ak表示k时刻的衰落乘性系数，nsk和npk分别表示k时刻信息比特和校验比特的加性高斯白噪声（AWGN），均值为零，方差为δ2；码字符号如表1所示。当yi表示i时刻接收的码字，则从时刻n到m接收的码字序列为Ymn=（yn，yn+1，…，ym）；αk（s）表示k时间段内接收码字序列Yk的前向递推概率，βk（s）为接收码字序列YNk+1的后项递推概率；s表示编码器的状态，γk（s′，s）表示k-1时刻的s′状态条件下到k时刻s状态，且接收码字为Yk的状态转移概率。L（uk）为似然比，L（uk／Yk）为后验概率的输出似然比，L=为信道补偿参数。

表1 码字符号Table 1 Symbol of codes

结合度量概率Ms′k=ln P（Yk，s′，s），Ms″k= ln P（Yk，s″，s），式（2）～（4）可变换为式（7）～（8），最大后验概率由式（10）确定。α、β的初始状态如表2给出，软判决输出由公式（11）确定；uk是硬判决的双极性比特，uk=sign[ Lk（uk／YN）]，sign表示符号函数。

表2 α、β初始状态Table 2 Initialized state ofαandβ

2.2 基于Taylor定理的MAP译码算法

简化MAP译码算法的具体实施步骤如下。

Step 1：引入对数映射h：y=ln x，式（7）～（9）可化简为式（12）～（14），若遇加法运算时，则进行Step 2；

Step 3：由文献［11］可知a-b＞＞0，因此利用Taylor定理有式（16）。为了在保证一定精度的条件下尽可能化简运算，对式（16）进行截断，取展开式的前三项，得到式（17）。

每一码元依照Step 1～5，完成Turbo译码算法的迭代过程。对于Step 3做一简要分析：由于满足a-b＞＞0条件，因此可以利用Taylor定理的应用公式（式（20）、式（21）），结合式（15）得到公式（16），Rn（e-a-b）为拉格朗日余项。

3 Turbo译码算法的仿真与对比

3.1 Taylor定理展开项的确定

首先比较了不同截断长度a K b的有效性，完成了Step 3截断的仿真验证，保证了式（16）中展开项取n=3的可靠性。

仿真环境为a=5，b∈［5，7］，完成了n分别取2、3、4和5时a K b理论曲线与仿真曲线。如图2所示，当ab＜1时，仿真误差较大。进一步完成了不同截断长度条件下误差曲线的分析。如图3所示，可以看出截断长度直接影响到算法的精度。表3从统计角度分析了误差性能，统计数据反映了即使是最大误差比率也在10-2数量级，从而保证了本文的Taylor-Log-MAP译码算法的可靠性。为了简化运算量，最终算法采用n=3的截断长度。b＞1时，仿真曲线和理论曲线基本一致；当0≤a-

图2 仿真曲线与理论曲线的比较图Fig.2 Simulated and theoretical curve

图3 a K b的误差曲线Fig.3 Error curve of simulated and theoretical value

表3 a K b仿真检验表Table 3 Check listof the a K bsimulation

3.2 译码算法分析与比较

译码算法的仿真环境如下：调制方式为BPSK，生成多项式为［7，3］，码速率为1 kbit／s，载波频率为400MHz，帧长512，RSC编码器状态数为8，信道为AWGN，迭代次数为4，码率为1／2，交织长度为378。在该环境下完成了采用n=3阶的Turbo码的Taylor -Log-MAP译码算法的仿真，仿真结果如图4所示。由图可见，本文提出算法的译码性能与Log-MAP算法性能相当。由于TADIL的信道编码要求：SNR=12 dB时，误码率Pe≤10-5；因此从图4可知，在误码率Pe=10-5条件下本文提出的译码算法信噪比增益和Log-MAP算法的增益基本一致，比现阶段RS码可以多获得5 dB的信噪比增益，因此TADIL的信道编码方式使用Turbo是一个较好的选择。

图4 译码算法仿真曲线Fig.4 Simulated curve of decoding algorithm

3.3 译码算法复杂度的分析

本节比较标准MAP译码算法、Log-MAP算法、Max-Log-MAP算法［12，13］和本文译码算法的复杂度。如表4所示，本文的Taylor-Log-MAP译码算法比标准MAP算法和Log-MAP算法简单，比Max-Log-MAP复杂一些，但消除了Max-Log-MAP的0.3 dB的信噪比增益，在保证译码性能的同时，达到了简化算法的目的；现阶段，TADIL使用的RS码译码比较简单，只需加类和乘类的计算，但译码性能无法与Turbo码相比较。

表4 运算量的对比Table 4 Contrast of computation

综上所述，采用三阶的基于Taylor中值定理的Log-MAP译码算法完成Turbo译码，不仅保证了算法的有效性，更具有很高的可靠性；在TADIL要求条件下，Turbo码与RS码相比可以获得至少5 dB的信噪比增益，从而增强了TADIL的无线通信能力。

4 结论与展望

本文通过Taylor级数的展开与截断简化了Log-MAP译码算法，仿真验证了该Turbo译码算法的有效性和可靠性，本文的译码算法与Log-MAP译码算法相比较最大误码率误差小于10-3数量级。对于Taylor级数展开项的大小，通过仿真确定了使用三阶展开项完成译码较为合适。低误码率的Turbo码为TADIL的应用奠定了基础，增强了TADIL信息传输的可靠性，下一步的工作将是完成该方法的硬件实现。

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LISi-jia was born in Xi′an，ShaanxiProvince，in 1987.He received the B.S.degree from Guangxi University in 2009.He is now a graduate student.His research concerns channel decoding technology for TADIL.

Email：lsj051＠126.com

毛玉泉（1961—），男，陕西西安人，1983年于西安电子科技大学获学士学位，1990年于国防科技大学获硕士学位，现为教授、硕士生导师，主要研究方向为数据链信息融合及信道编码技术；

MAOYu-quan was born in Xi′an，Shaanxi Province，in 1961. He received the B.S.degree from Xidian University and the M.S. degree from National University of Defense Technology in 1983 and 1990，respectively.He is now a professor.His research concerns information fusion and channel coding technology for TADIL.

郑秋容（1973—），男，福建仙游人，2007年获工学博士学位，现为讲师，主要研究方向为数据链天线技术；

ZHENGQiu-rong was born in Xianyou，Fujian Province，in 1961.He received Ph.D.degree from National University of Defense Technology in 2007.He is now a lecturer.His research direction is antenna for TADIL.

张建安（1986—），男，甘肃金昌人，2009年获学士学位，现为硕士研究生，主要研究方向为数据链导航技术；

ZHENG Jian-an was born in Jinchang，Gansu Province，in 1986.He received B.S.degree from Nanjing University of Aeronautics and Astronautics in 2009.He is now a graduate student.His research concerns navigation for TADIL.

李波（1974—），男，山东青岛人，2007年获工学博士学位，现为副教授，主要研究方向为信道编码、战术数据链。

LIBo was born in Qingdao，Shandong Province，in 1974.He received Ph.D.degree from NationalUniversity of Defense Technology in 2007.He is now an associate professor.His research concerns channel coding and TADIL.

A Taylor-Log-MAP Decoding Algorithm for Turbo Codes

LISi-jia，MAO Yu-quan，ZHENGQiu-rong，ZHANG Jian-an，LIBo
（Telecommunications Engineering Institute，Air Force Engineering Uuniversity，Xi′an 710077，China）

Based on the theory and architecture of Turbo codes，an efficient new decoding algorithm is designed according to the requirement of communication and the Taylor series.The function is transformed through the Taylor series expansion and truncated according to the demand for wireless communication.Compared with the Log-MAP decoding algorithm，the new algorithm avoids complex operation.Simulation result shows the proposed algorithm keeps excellent decoding performance and the Taylor-Log-MAP decoding algorithm can bring 5dB SNR（Signal-to-Noise Ratio）gain compared with the RS codes.

tactical digital information link；Turbo codes；Taylor theorem；MAP decoding；bit error rate

The National High-tech R＆D Program of China（863 Program）（2010AAJ145）；The National Natural Science Foundation of China（No.60972042）；Research Fund of Shannxi Key Laboratory of Electronic System Integration（No.201102Y05）；Science Innovation and Research Fund of Telecommunication Engineering Institute of Air Force Engineering University（DYCX1040，DYCX1007）；The Graduate Innovation Foundation of Air Force Engineering University under Grant（No.20110301）

TN911.22

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.09.027

李思佳（1987—），男，陕西西安人，2009年获学士学位，现为硕士研究生，主要研究方向数据链信道译码技术；

1001-893X（2011）09-0131-05

2011-04-11；

2011-05-30

国家高技术研究发展计划（863计划）项目（2010AAJ145）；国家自然科学基金资助项目（60802053）；陕西省电子信息系统综合集成重点实验室基金项目（201102Y05）；空军工程大学电讯工程学院科研创新项目（DYCX1040，DYCX1007）；空军工程大学研究生创新基金项目（20110301）