伺服系统中齿轮齿条传动消除π因子误差的研究

杨红光，赵庆志，孙惠萍

（山东理工大学机械工程学院，山东淄博255091）

在数控机床机械传动的设计中，常涉及到把步进电机的旋转运动转换为直线运动的情况，一般常用两种传动机构：丝杠传动和齿轮齿条传动．丝杠传动中，滚珠螺旋副尤其是小直径滚珠螺旋副结构比较复杂，制造困难，成本较高．而齿轮齿条传动在采取结构改进措施后可有效消除间隙，且传动效率高，便于制造，成本远比滚珠螺旋副低，在传动较长时，机床的设计一般都选用齿轮齿条作为其进给运动的传动方式［3]．

在伺服系统中，齿轮齿条传动应用广泛，但是由于π因子的存在，容易导致脉冲当量误差累积，最终执行机构定位产生误差，影响加工零件的精度．传统的两种方案为：（1）通过恰当的传动比拟合并降低π因子的影响，但采用该方法时因为齿轮箱太大限制了它的使用范围；（2）通过斜齿轮齿条传动，该方法要求齿轮齿条的精度过高，甚至无法使用．本文通过改进传统的传动方案，提出新的传动方案，并给出各种方案的适用范围．

1 实例分析

在实际应用中会遇到这样的问题：某数控机床采用110BF003步进电机，步距角α＝0．75°，传动结构原理图如图1所示．图1中，齿轮1、齿轮2和齿轮3的模数m相同且齿数分别为z1、z2和z3，齿轮

3节圆直径为d且其与齿条进行啮合传动，其中齿条固定在床身上，电机随刀架移动，要求δ＝0．01 mm，设计此传动系统．

由

得

图1 传动结构原理图

由于d3＝mz3，且z3是正整数，所以不论m取何标准值，由于π的存在，传动比μ的小数部分总是无限不循环的．如果将μ圆整为一个具体的数，就必然导致误差且其在传动过程中还会导致误差积累．不论是在数控加工过程中还是在测量过程中，如果误差积累到一定程度，就会导致工件或量具精度超差．因此，在齿轮齿条传动中，消除π因子引起的误差是设计上必须解决的重要问题．

2 传统传动方案的分析和改进

2．1 设计恰当的传动比降低π因子的影响

在齿轮齿条传动之前的减速器中，通过推导和计算恰当的传动比来降低π因子的影响．设计过程及计算如下：

由

得

取步距角α＝0．75°，直线脉冲当量δ＝0．01mm，齿轮模数m＝1，初取μ＝29／5×13／1，可得

取z3＝12，此时可反求出实际传动比，即μ＝为三级齿轮传动．此时实际直线脉冲当量为

实际直线脉冲当量的误差为

当要求移动距离L＝1 000mm时，伺服系统向步进电机所发脉冲数为100 000个，实际移动距离

此时传动1 000mm误差为0．023 6mm，经校正后，可以满足使用要求，并且较通常拟合的五级齿轮传动有更广的使用范围．

2．2 利用斜齿轮齿条降低π因子的影响

图2 曲线

由

得

取步距角α＝0．75°，直线脉冲当量δ＝0．01mm，齿轮法向模数mn＝1，可得

取z3＝12，则为二级齿轮传动即可．

若要求此时传动1 000mm误差不大于0．03 mm，则

同理

齿向误差ΔFβ包括齿线的方向偏差和形状误差；轴向齿距偏差ΔFpx主要反映斜齿轮的螺旋角β的误差．而且齿向误差ΔFβ与轴向齿距偏差ΔFpx有具体的运算关系［5]．

由

可知

则

类似可近似求出轴向齿距偏差

显然要达到与上面基本相同的传动精度，对于此斜齿轮齿条精度的要求实在是太高，自然加工成本也会急剧上升．但是对于低精度场合斜齿轮齿条是否适用，可分别对齿向误差精度等级为5级和7级的斜齿轮3进行计算．

当齿向误差精度等级为5级时，反求计算结果为传动1 000mm最大误差约0．183 8mm；当齿向误差精度等级为7级时，反求计算结果为传动1 000mm最大误差约0．288 9mm．

2．3 两种传统方法的分析

方法（1）对齿轮齿条加工要求低，成本较低，虽然经恰当拟合后可以三级齿轮组达到很高精度，但齿轮箱较大，尤其在伺服系统中齿条固定，步进电机、齿轮箱和刀架工作结构笨重，不仅浪费能量，而且对其他结构要求较高．方法（2）虽然结构简单，但是对齿轮和齿条的加工精度要求非常严格，加工成本很高．且这两种方案都旨在减小每一步的误差，却无法避免误差积累，而齿轮齿条传动就是在大型机床的设计中选用的传动方案，传动误差积累现象较为明显．

3 新方案的探讨和提出

3．1 脉冲转换方案

频率转换电路由鉴相器、低通滤波器、压控振荡器和分频器1、2组成，其原理图如图3所示．输入信号脉冲频率与控制信号脉冲频率的关系由分频器1和2的分频数决定，即

图3 频率转换电路原理图

频率转换的硬件电路如图4所示．锁相环4046由线性压控振荡器、两个鉴相器和一个射随器组成，OUT1输出的控制信号脉冲频率为当需要改变输入输出信号频率比例时，只需给计数器1和2写入新的计数值，从而可方便地改变频率变换比例．

图4 频率转换的硬件电路图

当固定取m＝16，n＝145时，硬件上可以通过伺服系统或单独编程的单片机固定写入，此时有

即可拟合出改进方案中的三级齿轮传动：

故当系统直线脉冲当量取δ＝0．01mm时，精度低于原来齿轮拟合的精度；这样可以通过取δ＝0．001mm来进行解决，但是这样系统发送的脉冲频率就要提高一个数量级，在一些精度要求特别高的场合可以通过添加变频器来解决．该方案可应用于采用齿轮拟合最终执行机构因质量过大而不符合要求时来简化最终执行机构的场合．

3．2 闭环控制方案

图5 闭环控制原理图

闭环控制原理图如图5所示．图5中，位置测量装置可依据工作台长度和工作状况，选择光栅尺或球栅尺．这种方法可避免处理π因子的问题，其精度取决于与位置测量装置组成闭环系统的精度，主要由测量装置和比较环节决定．该方法具有精度较高，且便于自动化管理的优点，虽然光栅尺、球栅尺价格较贵，但采用该方法后，对机械零件精度要求降低，所以在成本上也不会带来大幅度提升，除一些经济型机床外，该方法性价比还是比较好的，可应用于普通机床改数控数显、精度较高的大型机床中齿轮齿条传动的设计．

4 结束语

结合上文计算分析过程，给出4种方案各自的适用范围分别如下：

（1）恰当的齿轮传动比拟合方案，改进后可为三级齿轮传动，π因子产生误差积累在1 000mm行程上约0．023 6mm，适用于对于最终执行机构整体质量要求不太高的场合．

（2）斜齿轮齿条传动拟合方案，达到同种精度要求齿向误差约为1．1um，太高则难以应用于机械零件的加工；其中齿向误差5级传动1 000mm行程最大误差约0．183 8mm，齿向误差7级传动1 000mm行程最大误差约0．289 9mm，但校正后普通精度的斜齿轮齿条传动亦可应用于对精度不作严格要求的场合．

（3）脉冲频率转换方案，虽然π因子误差很小，但是降低了分辨率，当直线脉冲当量取0．01mm时，分辨率误差约为0．1mm，适用于最终执行机构整体质量要求高的特殊场合，尤其是经过齿轮拟合后因齿轮箱太大而不符合要求的场合，直线脉冲当量可取0．001mm，要求精度过高时需加入变频器．

（4）闭环控制方案，理论上完全消除了π因子的影响，适用于普通机床改数控数显或精度较高的大型机床．

在伺服系统中选择齿轮齿条传动时，需消除π因子的影响，此时可依据应用场合以及传动精度，在兼顾成本和效率的前提下，合理选择消除或减小的方案，各方案具体设计流程可参考上述设计过程．

［1] 苏杰，赵云湘，朱振霞．新型压滤机的齿轮、齿条开框传动结构分析［J] ．煤矿机械，2010，31（1）：132－133．

［2] 黄其圣．齿轮齿条传动伺服系统及在测量中的应用［J] ．工具技术，1996，30（5）：30－32．

［3] 于力．齿轮齿条传动解决方案［J] ．现代制造，2008（10）：66－67．

［4] 景振毅，张泽兵，董霖．MATLAB 7．0实用宝典［M] ．北京：中国铁道出版社，2009．

［5] 陈伏生．轴向齿距偏差ΔFβ与齿向误差ΔFpx的关系［J] ．齿轮，1990，14（4）：34，47．

［6] 吴士学．调频通用频率转换控制器的设计与应用［J] ．电声技术，2008（1）：83－85．

［7] 张强，岳明君，王晓晨，等．一种实时可编程频率转换电路［J] ．电子技术应用，1997（11）：50．