时标上三阶非线性p-Laplacian三点边值问题的正解*

武利猛，杨 军，陆海波， 张 娟

(1.华东师范大学数学系，上海 200241；2.燕山大学理学院， 河北 秦皇岛 066004；3.河北省数学研究中心，河北 石家庄 050000)

近年来，时标上的动力方程已引起了许多学者的广泛关注，越来越多的学者对在时标上利用不动点定理解决p-Laplacian边值问题产生了很大兴趣，有关的内容可参看Bohner和Peterson的两本专著[1-2]及相关的参考文献[3-10]。目前，关于时标上二阶p-Laplacian动力边值问题的研究较多，但针对三阶p-Laplacian动力边值问题的讨论较少[7]。

在本文中，Τ表示时标，为了方便，对R上的每一个区间I，仍用I表示时标区间，即I:=I∩T，受文献[8-9]的启发，我们将研究时标上三阶非线性p-Laplacian边值问题

t∈[0,T]

(1)

βu(0)-γuΔ(0)=0,uΔ(T)=αu(η),

(2)

贯穿全文假设以下条件成立

(H1)f(t,u(t)):[0,T]×R→R+是连续的，其中R+记为非负实数；

(H2)p(t)∈C([0,T],(0,+∞))为单调增加函数；

(H3)a:[0,T]→[0,∞)是ld-连续的，且a(t)在[0,T]上的任意子集上不恒为零。

1 定义与引理

为了证明本文的主要结果，需要如下定义及引理。

定义1 如果α:P→[0,∞)是连续的且

α(tx+(1-t)y)≥tα(x)+(1-t)α(y)

对所有的x,y∈P和t∈[0,1]成立，那么映射α被称为在实的Banach空间E上锥P中的一个非负连续凹泛函。相似地，如果β:P→[0,∞)是连续的且

β(tx+(1-t)y)≤tβ(x)+(1-t)β(y)

对所有的x,y∈P和t∈[0,1]成立，那么映射β被称为在实的Banach空间E上锥P中的一个非负连续凸泛函。

设γ,β,θ是在锥P上的非负连续的凸泛函，α,φ是锥P上非负连续凹泛函。对非负实数h,a,b,d和c，定义下面的凸集

P(γ,c)={x∈P|γ(x)

P(γ,α,a,c)={x∈P:a≤α(x),γ(x)≤c}；

Q(γ,β,d,c)={x∈P:β(x)≤d,γ(x)≤c}；

P(γ,θ,α,a,b,c)={x∈P:a≤α(x),

θ(x)≤b,γ(x)≤c}；

Q(γ,β,φ,h,d,c)={x∈P:h≤φ(x),

β(x)≤d,γ(x)≤c}。

定义2 令Banach空间E=Cld[0,T]且范数‖u‖=supt∈[0,T]|u(t)|。定义锥P⊂E，且

P={u∈E|u在[0,T]中是凹的，递增且非负}

引理1 如果d≠0，则对h(t)=Cld[Τ,R]，动力方程边值问题

βu(0)-γuΔ(0)=0,

(4)

有唯一解

s+

(5)

证明对式(3)从0到t进行积分，得到

即

(6)

对式(6)从0到t进行积分，得到

s

(7)

再对式(7)从0到t进行积分，得到

u(t)=u(0)+tuΔ(0)-

(8)

令t=T,η代入式(7)和(8)有

s

(9)

u(η)=u(0)+ηuΔ(0)-

(10)

将式(9)、(10)代入式(4)有

s-

(11)

(12)

将式(11)、(12)代入式(8)，可以在[0,T]得到式(5)。证毕。

引理2 如果0<α<β/γ和d>0，则边值问题(3)，(4)的唯一解u(t)满足

u(t)≥0，t∈[0,T]

证明类似于文[4]引理2.2的证明，这里省略。

引理3 令α>β/γ和d≠0，则边值问题(3)， (4)无正解。

证明类似于文[4]引理2.3的证明，这里省略。

引理4 如果u∈P, 那么

(ii)su(t)≤tu(s)，s,t∈[0,T]，s≤t

其中‖u‖=supt∈[0,T]|u(t)|。

证明(i)见文献[10]。接下来证明(ii)成立。如果t=s， 结论显然成立。如果s

即

tu(s)≥su(t)+(t-s)u(0)≥su(t)

证毕。

(i){x∈P(γ,θ,α,b,k,c):α(x)>b}≠∅且x∈P(γ,θ,α,b,k,c),有α(Φ(x))>b;

(ii){x∈Q(γ,β,φ,h,a,c):β(x)

(iii)对任意x∈P(γ,α,b,c)且满足θ(Φ(x))>k,有α(Φ(x))>b;

(iv)对任意x∈Q(γ,β,a,c)且满足φ(Φ(x))

β(x1)

易知边值问题(1)、(2)有解u=u(t)当且仅当u是算子方程

(13)

的不动点。

2 三个正解的存在性

固定l,w∈Τ且满足η

则边值问题(1)、(2)至少有三个正解u1(t)，u2(t)和u3(t)满足

且

证明由条件(H1)，(H2)，(H3)容易验证A:P→P是全连续映射。现在证明引理5中的条件对A成立。令u∈P，由 (5)，(13) 和引理2知，当t∈[0,T]有

(Au)(T)≥0；

(Au)Δ(t)≥(Au)Δ(T)=α(Au)(η)≥0

即(Au)(t)在[0,T]中是凹的，递增且非负，由此知Au∈P。

γ(Au)=(Au)(η)=

由(H5)可知

即引理5的(i)成立。

有

由(H6)可知

β(Au)=(Au)(l)≤

则引理5中的(ii)成立。

最后验证引理5中的条件(iv)成立。令u∈Q(γ,β,a,c)且

由引理4可知

引理5中的条件(iv)成立。

于是，由引理5可知A至少有三个不动点，即边值问题(1)、(2) 至少有三个正解u1(t)，u2(t)，u3(t)，使得

且

证毕。

3 应用例子

t∈[0,1]

(14)

(15)

f(t,u)=f(u)=

容易验证f(u(t))满足定理1的所有条件, 则边值问题(14)， (15)至少存在三个正解u1(t)，u2(t)，u3(t)。

参考文献：

[1]BOHNER M, PETERSON A.Dynamic equations on time scales: an introduction with applications[M].Boston: Birkhäuser, 2001.

[2]BOHNER M, PETERSON A.Advances in dynamic equations on time scales[M].Boston: Birkhäuser, 2003.

[3]HONG S H.Triple positive solutions of three-point boundary value problems forp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, 206: 967-976.

[4]王培光, 王颖.时间尺度上二阶动力方程三点边值问题解的存在性[J].数学学报, 2007, 50(3): 701-706.

[5]SUN H R, LI W T.Multiple positive solutions forp-Laplacianm-point boundary value problems on time scales[J].Applied Mathematics and Computation, 2006, 182: 478-491.

[6]LIANG S H, ZHANG J H, WANG Z Y.The existence of three positive solutions ofmpoint boundary value problems for some dynamic equations on time scales[J].Mathematical and Computer Modelling, 2009, 49: 1386-1393.

[7]HAN W, LIU M X.Existence and uniqueness of a nontrivial solution for a class of third-order nonlinearp-Laplacianm-point eigenvalue problems on time scales[J].Nonlinear Analysis, 2009, 70: 1877-1889.

[8]SU Y H, LI W T.Triple positive solutions ofm-point BVPs forp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Nonlinear Analysis, 2008, 69: 3811-3820.

[9]HE Z M, LI L.Multiple positive solutions for the one-dimensionalp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Mathematical and Computer Modelling, 2007, 45: 68-79.

[10]HE Z M.Double positive solutions of three-point boundary value problems forp-Laplacian dynamic equations on time scales[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2005, 182: 304-315.