一个电磁感应问题的探讨——切割磁感线的金属棒究竟在做何种运动？

刘明祖

（烟台第一中学 山东 烟台 264001）

电与磁及其相互转化是自然界最奇妙的现象之一，也是当今人类获得能量的主要途径之一.温暖的万家灯火、七彩的都市霓虹、轰鸣的机器运转……无不依赖电子在导线中静静地流淌.纵观电磁学，可以发现其中始终贯穿着一个不变的主题——变化、运动.电子的运动、带电体的运动、磁场的变化、电流的变化……单是这“运动”，就已是形式无限，变化千般.在学习“电磁感应”这一章中接触到许多金属棒的运动，如图1所示就是其中简单的一例.笔者感觉其运动形式值得深入定量探讨，特作解析如下.

如图1所示，光滑导轨M1N1，M2N2间连有定值电阻，阻值为R，导轨宽度为L.一质量为m的金属棒ab架在导轨上，不计导轨与棒的电阻和一切摩擦，设金属棒的初速度为零.以ab棒的初始位置为坐标原点，水平向右为x轴的正方向建立坐标系.现将一恒力F作用在ab上，且F的方向为x轴正方向.下面分析棒ab的运动形式.

图1

由法拉第电磁感应定律，金属棒切割磁感线产生感应电动势

回路中的电流为

金属棒所受的安培力是

由牛顿第二定律，有

联立（1）～ （4）式，得

另一方面，有

由（5）、（6）式，得

以上各式都是在时刻t成立的瞬时表达式，v为瞬时速度，a为瞬时加速度.

由（7）式，得

代入（8）式，得

对（9）式两边积分

整理，得

故加速度为

设t时刻金属棒的位置坐标（即位移）为x，则由

对（12）式两边积分，得

至此已得到金属棒运动过程中速度、加速度和位移关于t的函数关系式，整理如下.

图2

上式是假定存在匀速直线运动阶段时成立的式子，这表明图像的渐近线的确代表了那个假想的“匀速直线运动”状态.

综上所述，串联定值电阻的金属棒在匀强磁场中受恒定外力作用时，如果忽略金属棒与导轨的电阻以及一切摩擦，那么金属棒将做一个加速度以零为极限不断减小，速度以为极限不断增大的运动，即一个加速度不断减小的加速直线运动.金属棒的位移、速度、加速度的瞬时值都是时刻t的指数型函数.当时间趋于无穷大时，金属棒的运动无限接近于匀速直线运动，但永远不会做匀速直线运动.

在高中阶段处理此类模型时，一般认为匀速直线运动阶段存在；然后综合运用动能定理或能量转化关系求解相关问题.上面运用力学方法来研究这个问题，把粗略看待的“过程”精细化，得到的认识更加清晰.通过以上推导，对楞次定律中所说的“阻碍导体运动”有了更深的理解.在电磁感应中，磁场力以一种“润物细无声”的作用方式来一点点地消磨外力施加给导体的加速度.“存在匀速段”的观点是近似粗略的、有精度限制的.“渐近于匀速”的观点是准确的.