基于广义随机Petri网的供应链物流模式构建

姚丹

1 广义随机Petri网的建模方法

1.1 基本Petri网

Petri网是由C.A.Petri于1962年在其博士论文中提出的，经过多年发展，已逐渐成为各个学科中强有力的图形建模与分析工具。Petri网是由位置(Places)、转移(Transitions)和连接两者间关系的有向弧(Directed Arcs)所组成的一种有向图，其中，“位置”的作用是决定“转移”能否发生，“转移”的作用是改变系统的状态。

一般情况下，在Petri网的图形表示中，位置用圆圈（“○ ”）表示，转移用直线段（“│ ”）或矩形（“□ ”)表示，位置与转移之间的流关系用有向弧表示。

1.2 广义随机Petri网

早期的Petri网未引入时间概念，为了分析离散事件动态系统的时间性能指标、信息传输延时等，在每个变迁的可实施与实施之间联系一个随机的延迟时间，称为随机Petri网(Stochastic Petri Net，SPN)。SPN应用在系统模型的性能分析中分为三步：（1）给出系统的一个SPN模型：（2）构造出于该SPN同构的马尔科夫链；（3）基于马尔科夫链的稳定状态概率进行所要求的系统性能分析，继而可以对随机Petri网所模拟的实际系统做各种性能的评价。但随机Petri网的状态空间会随着问题的增大而呈指数增长，使随机Petri网同构的马尔可夫链难以求解。为解决这一问题，Marsan领导的科研组在1984年提出了广义随机Petri网理论，它是对SPN的一种扩充，它将变迁分为两类，一类是瞬时变迁与随机开关相关联且实施延时为零，另一种为时间变迁与指数随机分布的实施延时相关联。应用广义随机Petri网建模的具体过程是，给出研究对象的网络结构、构建研究对象的广义随机Petri网模型、构造马尔科夫链计算系统性能。

假设∑=(P,T;F,M0,λ)为随机Petri网，其中∑'=(P,T;F,M0)为一个原型Petri网，λ:T→R0；设T={t1,t2,…,tn}，则对ti∈T，λ(ti)=λi为1个非负实数，它表示变迁ti的发生速率.ti发生的时延di由于负指数分布具有无记忆特性，如果∑是1个有界的随机Petri网，那么∑的可达标识图RG(∑)等同于1个有限的马尔科夫链（MC），该马尔科夫链的状态空间就是∑的可达标识集R（M0）。设∑=(P,T;F,M0,λ)为 1个随机 Petri网，λ=[λ1,λ2,…，λn]，其中（n= ||T ）；R（M0）是 ∑ 的可达标识集；设 ||R(M0)=r，那么r阶矩阵Q=[qij]r×r称为∑的概率转移矩阵，其中

通过概率转移矩阵，可以求出马尔科夫链上的r个状态（对应∑的r个可达标识）的稳定状态的概率可以用一个r维向量 ∏=[π1,π2,…,πr]表示，r= ||R(M0) ，r维向量 ∏ 满足下列方程组，其中Q是概率转移矩阵，通过上式有r+1个方程的方程组，可以求出向量∏。

2 基于广义随机Petri网的供应链物流业务流程研究

2.1 物流业务流程

物流企业主要针对物品的流向进行操作，以此为客户提供接货、入库、出货配送、调拨、退换货等物流业务服务，从而使生产企业专注于生产，而将产品的运输和仓储工作全权交给物流企业去完成，包括订单等客户的服务业务、运输业务、存储与配送业务等。图1是以某物流企业为例列出基本的业务流程。

其中,A为接受托运申请，签订运输合同；B为物流企业接受委托，发放空箱，货物装箱，签发运单；C为起点站装车，运输；D为货物卸车，对货物入库分拣；E为通知收货人提货，货物交付。

物流企业通过对客户的服务，接收到客户的订单需求，然后根据货物及客户的所在位置，选择最佳的运输与配送方案，将工厂所生产出的产品以最快的速度送达指定的库存地点，最后根据货物情况进行入库分拣整理后，交给收货人，整个物流业务流程结束。物流业务流程的广义随机Petri网模型如图2所示。

图1 物流业务流程图

2.2 物流业务流程简化的广义随机Petri模型

按照广义随机Petri网的建模流程，首先构建广义随机Petri网模型，根据供应链的网络结构以及业务流程，得到物流业务的简化模型，如图3所示。图3中供应链的简化GSPN反应了物流业务作业流程，它是由8个库P和7个变迁t组成，这些变迁均为时延变迁，相应的速率分别用λ表示。其中模型中库所、变迁所代表的含义如表1所示。

图2 物流业务流程的广义随机Petri网模型示意图

2.3 系统性能分析

图3 物流业务流程简化的Petri模型

表1 物流业务流程Petri网模型元素符号设定表

由上述所给出的广义随机Petri网模型构造出同构的马尔科夫链，根据马尔科夫链的稳定状态概率进行系统性能分析。与图3 GSPN所对应的马尔科夫链如图4所示。表2是与之相对应的可达标识集。

图4 物流业务的马尔科夫链

表2 GSPN中的可达标识集

可求得各标识的稳态概率值为P（M0）=0.3；P（M1）=0.3；P（M2）=0.15；P（M3）=0.0375；P（M4）=0.15；P（M5）=0.0375；P（M6）=0.0125；P（M7）=0.0125。根据稳态概率，可以对系统性能进行分析。该系统包含所有变迁，系统平均执行时间就是供应链的平均执行时间。则Σ′中令牌平均数=2.04；单位时间进入子系统Σ′的令牌数为λ=λ1P（M（P1）=1）=0.3，可得平均执行时间为T=N/λ=6.83（工作日）。平均执行时间T的大小反映了整个系统的组织结构运行的效率，可以通过T的大小比较不同网络结构的运行效率状况。

物流业务各环节的运作效率可以通过其稳定状态下处于忙状态的概率反映出来。令A1、A2、A3分别代表客户服务业务、物流配送业务和仓储管理业务，计算式为A1={M0，M1}；A2={M2,M3,M4,M5}；A3={M6,M7}。因此客户服务占时间总比例为0.6，物流配送业务占时间总比例为0.375，仓储管理业务所占时间比例为0.025，这些数据说明各个环节的运作效率情况。如P(A2)＞P(A3)说明了物流配送业务的效率比仓储管理效率低，这与实际情况相符，因为配送比仓储花费时间少导致限制时间多，效率比较低。

3 结束语

本文构建供应链物流业务广义随机Petri网模型，对物流业务流程进行模拟优化分析，为物流供应链的业务模式选择提供了建模仿真的思路，可帮助物流企业动态、连续地监测内部服务质量变动情况、平均执行时间的大小和运作效率的高低，对于管理决策有一定的参考价值，对于效率较低的环节可以考虑改变管理模式以提高运作效率。本文中的供应链的广义随机Petri网是简化模型，如何真正求解复杂的供应链物流业务模式系统指标，是需要进一步研究和探索的问题。

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