运用阿贝成像原理进行平面密铺结构的频谱分析

王汉琛,刘 璟,潘永华,周 进

(南京大学物理系,江苏南京210046)

运用阿贝成像原理进行平面密铺结构的频谱分析

王汉琛,刘 璟,潘永华,周 进

(南京大学物理系,江苏南京210046)

运用阿贝成像原理分析了平面密铺结构的频谱.使用AutoCAD绘制密铺图样作为物,用透过液晶光阀的扩束激光作为物光,经F透镜变换后形成频谱和物像.当物面的精细度和其构成线段的分布规律发生改变时,频谱面上相应的频谱也发生变化.通过分析形成密铺图形的结构基元和密铺图形本身的傅里叶变换之间的关系,确定当密铺图形的结构基元尺度介于可见图形和光栅网格之间时频谱的结构特征及此特征的可能应用.

阿贝成像;傅里叶变换;密铺;空间频谱;光栅

1 引 言

阿贝成像原理将凸透镜成像看成2个傅里叶变换过程.物面发出的平面波经过凸透镜后,在凸透镜的后焦面(下称 F面)上将得到物光的完整傅里叶变换.该傅里叶变换将在像面上进行逆变换而得到还原的物像.由于 F面上得到的是物光的精确傅里叶变换,因此一个凸透镜系统就是一个完整的傅里叶变换系统.由此,可以用凸透镜光学系统研究物光的空间频率分布性质[1].

平面密铺结构是指应用一种或几种基本单元,通过不断地重复平移、旋转、反演变换可以无缝隙、无重叠地得到整个平面的一种二维空间结构[2].这种结构是形成空间晶体结构的二维平面基础,几乎所有晶体的空间晶格都是由相当于二维平面密铺结构的晶面组成,因此对平面密铺结构的研究将对晶体结构研究有重要意义.

2 原理分析与理论推导

实验设计的依据为阿贝成像原理.设在 x,y平面上有一光场的复分布(例如二维图像),由于在阿贝成像系统中,整个透镜成像过程可以看成2次对物光函数的傅里叶变换(下称F变换),第一次F变换发生在透镜的后焦面上,得到物光的精确的傅里叶变换关系:

其中λ为波长,f是透镜焦距,x′和y′是后焦面上的坐标,g(x,y)是物的光场复振幅分布,G(x′,y′)是在透镜像方焦面上的光场复振幅分布,空间分布为

由(1)～(2)式可以看出νx正比于x′,νy正比于 y′,所以在频谱面上 x′和y′较大处(远离光轴处)集中了物光频谱的高频成分,对应的是物光或像面上的精细结构,反之,在0级附近集中了物光的低频成分,反映了物光函数的较均匀部分[1].如果使用单一图形平移产生二维重复性结构,由上面的分析,当物面函数只有1个结构基元时,F面上呈现的是这个结构基元的空间频谱,而当物面是上述结构基元形成的二维密铺平面,平面上的基元数非常多时,该二维密铺平面则可看作二维光栅,F面上呈现的应是分立的点谱.在物面从单一基元向密铺结构过渡时,物面包含的结构基元数逐渐增加,而每个结构基元本身随这个过程缩小,F面上的结构也会逐渐从结构基元的频谱过渡到类似光栅的频谱.这个过渡过程的变化规律就是本实验的研究课题.

3 实验方法

图1 实验装置示意图

实验装置如图1所示,屏上图案用外接相机拍摄.显示器件为电寻址液晶光阀.液晶光阀是利用液晶的光学特性而制作的空间光调制器,它通过输入电压的变化控制液晶分子的取向从而改变通过液晶屏的光的强度和相位.利用液晶光阀的电光特性,可以实现计算机显示屏图样到液晶屏的实时输出[3-4].实验使用 AutoCAD绘制三重、四重和五重旋转对称平面密铺图样,其结构基元和基本几何参量如图2所示.将图样输出到液晶光阀,经过傅里叶透镜变换后在傅氏透镜的后焦面上得到物面的空间频谱分布,并在像面上重新成像[5].拍摄这2个面的图像并加以分析.

图2 实验使用的密铺图样结构基元及其几何参量

液晶光阀本身可以看作二维正交光栅,其对应缝间距为1 px.在没有外接计算机显示时其空间频谱如图3所示,而在显示密铺图样时空间频谱则是密铺图样和液晶光阀二维光栅的卷积.由(2)式代入液晶光阀像素宽度、光路基本数据和激光波长,可以得到在实验光路条件下,液晶光阀谱点间距的计算值为1.103 cm,实际测量的谱点间距为1.100 cm.在下文所述实验中如有需要,将以实测值1.100 cm为准.

图3 液晶光阀的空间频谱

3.1 四重对称

图4(a)显示了四重对称的结构基元,即1个正方形方格,相邻两平行线间距为400 px,线宽为1 p x.根据(2)式,其在 F面上的谱点间距约为0.03 mm.

F面上所成频谱如图4(b).图中央的亮点是液晶光阀的0级点,四周的亮点是液晶光阀的±1级衍射点.相比单纯由液晶光阀形成的分立点谱,在显示四重对称图样之后 F面上出现了四辐对称的连续谱,谱线从液晶光阀的衍射点出发,伸展方向和对应的结构基元中与线段元素的方向垂直.此种频谱反映了结构基元本身的信息.

图4 四重对称密铺的结构基元和频谱

将图4(a)所示的结构基元进行平移、旋转变换后,得到近似正交光栅的高密度四重对称图样,如图5(a)所示.图5(b)显示了此时的结构基元,每个方格的边长为8 px,每条边的线宽为1 px.图5(c)为其 F面频谱,由于物面的结构近似正交光栅,此时得到的谱是分立的.放大精细结构并对比图4(b)可见,先前出现在液晶光阀的0级和1级频谱点之间的连续谱被8等分,变成了7个分立谱点.由(2)式知,此时的物面结构应该是缝宽1 px、缝间距8 px的正交光栅,它准确地反映了物面密铺图形中结构基元的点阵分布.

前述的2组实验给出了液晶光阀显示条件下密铺结构空间频谱的2种极限状态.低密度显示结构基元时,F面给出了连续分布的空间频谱,这是非周期性图形的频谱特征;而高密度显示密铺结构时,其空间频谱是分立的,呈现出光栅特有的频谱分布和密铺图样的平面点阵.

若物面的精细度介于非周期性图形和光栅结构之间,则可将物面函数看成结构基元的物面函数与密铺点阵在平面上的乘积[2].将这个结果代入(1)式并积分,得到物面空间频谱应是结构基元和光栅结构两者的傅里叶变换的线性叠加[6].只有当密铺非常细密使得基元的结构信息完全丢失,物面才会显现完全的光栅特性.而如果密铺不够细密,结构基元的信息没有完全丢失,其空间频谱将兼备结构基元和光栅的特征.

一个典型的例子如图6(a)所示,当物面为中间尺度的4重对称网格时,此时物面的精细度介于图形和光栅之间,如图6(b)所示.从图6(c)可以看出其空间频谱的分布也介于图形的连续谱和光栅的分立谱之间,即同时存在四辐对称的连续谱线和其上分布的分立谱点,这说明通过物面的光线同时携带了基元的结构信息以及光栅的结构信息.

图5 高密度的四重对称密铺及其频谱

图6 中间尺度的密铺图形及其空间频谱

3.2 三重对称

使用三重对称图样重复实验,结果见图7.图7(b)显示了三重对称结构基元的空间频谱分布特性,即谱线的取向和构成密铺结构的线段元素垂直;图7(d)显示了三重对称在近光栅情况(此处的近光栅情况是指在液晶光阀做显示器件时,在每个结构基元都不发生失真的前提下系统所能达到的最高结构基元显示密度.下同.)下的空间频谱,谱点分布呈现了三重对称光栅的特征.对比2组图片,可清晰看到前者呈现连续结构,表现了结构基元本身的结构;后者为明显的分立谱,呈现非常典型的光栅特征.

而当密铺图样的显示比例在这两者之间时,物面的空间频谱特性在基元显示密度较低时主要呈现准连续谱(如图8).但三重对称的空间频谱呈现了和四重对称不同的特性,即2组平行的主谱线之间还有1组与主谱线方向平行的、较细也较暗的子谱线,如图8中标注所示.

图7 三重对称的基元和光栅结构及频谱

图8 基元宽度80 px的三重对称 F面

通过放大照片计算谱线之间的像素数并进行长度换算,得到主谱线和最明亮的与主谱线平行的子谱线的距离平均为1.375 mm.根据(2)式,再代入缝间距为1 px的液晶光阀正交光栅产生的频谱点间距为1.100 cm这一结果,可以推出这组谱线的产生应是由于物面上的线段元素存在一系列沿线段方向分布,长度约8 px的周期.这个周期的形成是由于液晶光阀作为像素显示器件,在显示倾斜的线段时,系统会使用最接近的像素近似[7].

图9表示的是实验所用的PC的像素显示系统处理30°斜线的方法示例.从图中可以看到2种明显的周期,第一种如图中虚线所示,为1×2的像素块.第二种如长实线所示,为水平4 p x,竖直7 px的周期,由勾股定理,沿斜线方向就是约8 px的周期.用同样的原理,如果物面上的结构基元组成了高于像素尺度的周期性分布,比如每k个像素或结构基元组成1个团簇或每隔k个基元出现了基元重复、缺失或填隙,对应的谱线在空间频谱上也是可以观察到的.

图9 像素显示系统样例

用非常高的密度显示三重对称时,其部分放大的结构如图10(a)所示,可以看到三重对称的结构基元本身已经发生了变形.由于三重对称的构成元素不是沿着液晶光阀的像素排列方向的,因此在这种极限状况下,虽然显示的结构更细密了,但图形的整体可重复性其实降低了,因为由于变形,组成密铺的结构基元不是完全相同的.其频谱清楚地表现了这一点,如图10(b)所示,此时在0级点周围还是可以看到三重对称光栅的结构(如图中白圈内的六边形),但是只要稍微远离0级点,对称结构就无法观察到了.在这种形变发生之前,一个显示系统能达到的最高的结构基元显示密度反映了这个显示系统的性能指标.借由观察一个显示系统在光栅极限能达到的最高显示周期,结合之前的用测量子谱线观察像素近似的方法,可以得到一种获取像素显示系统的显示精度的方法.

图10 极小比例三重对称密铺及空间频谱

3.3 五重对称

用由5个特征顶角为72°菱形和5个特征顶角为36°菱形组成的花样为中心点,辐射状向外侧以同心圆形式向外扩展,每向外1层,组成同心圆的基本单元增加5个[8],最终形成以中心点为对称中心的五重旋转对称结构[2].此种平面密铺形式具有五重旋转对称性,但没有平移对称性.图11给出了当显示的密铺图样逐渐由单一结构基元向光栅型转化的过程的代表性物面及其空间频谱.同样,只要在显示精度范围内,五重对称的空间频谱在0级点周围显著地呈现了五辐旋转对称的主谱线[图11(b)中的大圈内所示],与主谱线平行的子谱线同样具有五重对称的特征.而且当显示密度足够高时,可以观察到谱线有逐渐向分立谱发展的趋势[图11(b)中的小圈].

图11 介于光栅和图形之间的五重对称图样及空间频谱

但当密铺元素结构基元的大小接近光栅量级时[图12(a)所示],在 F面频谱图中,中央0级点周围很小范围内[如图12(b)中的白圈内]可以看到五重对称性的分立谱点和花样(可以看到圆圈内有10个沿圆周均匀分布的谱点),但并没有如三重或四重对称的频谱那样明显的光栅谱点分布模式.而其他处[图12(b)白圈外侧]却呈现出明显的四重对称,即液晶光阀的频谱特性.这种情况的发生是由于在结构基元显示密度非常高时,由于液晶光阀像素结构的短程有序性相比五重对称结构要好很多,液晶光阀的四重对称特征将密铺结构的五重对称特征掩盖,从而无法在 F面上有效获取到五重对称的光栅结构特征.

图12 尺度接近光栅的五重对称密铺及其空间频谱

4 结论与可能的应用

4.1 实验结论

在使用液晶光阀作显示元件时,考虑到液晶光阀本身的物理分辨率限制和显示特性,可以把F面上的谱(点、线)分成以下3类:

第一类是从液晶光阀0级点和高级衍射点处出发,延伸方向和结构基元的线段元素垂直的谱线或谱点系.这一类谱线、谱点是组成平面密铺的结构基元本身的傅里叶变换.

第二类是液晶光阀0级点和高级衍射点之间,与相应对称性的光栅的傅里叶变换一致的分立谱点分布[如图7(b)和(d)].当同屏结构基元数增加时,此类谱点逐渐出现并增强.这一类谱点反映了物面函数的光栅性质.

第三类是与第一类谱线或谱点同时存在,且方向平行、较弱同时也较细的谱线丛.这一系列谱线是由于液晶光阀本身的像素结构限制,在显示有角度线段时产生的沿线段延伸方向的长短不同的周期,体现了物面组成元素的周期性特点,如图8和图9所示.

而物面在实验条件下显现的是图像性质还是光栅性质,在物面本身的几何尺度固定时完全取决于物面上的密铺结构基元密度.若结构基元本身是非周期性的,在结构基元的显示密度较低时,F面上给出的几乎完全是结构基元本身的信息.即使出现分立谱,谱点间距也非常小,从而可以看作准连续的.随显示密度的增加,物面上开始出现高周期的元素,同时 F面上也出现高周期的元素,表现为 F面上出现图8所示的子谱线或分立的谱点.但这一点并不是光栅的特性,这是多缝衍射特性与液晶光阀本身精度限制的综合体现.在本文的实验讨论中,液晶光阀始终显示宽度1 px的图形,即光栅缝宽不变,从而衍射谱的包络线不变;显示比例的改变表现为缝间距改变,而缝间距越小,F面上谱点之间的距离越远.当显示密度进一步提高,谱点之间的距离可分辨时,光强重新分布,F面开始显现出光栅的特性.显示密度非常高时(如图5所示)光学行为已向光栅靠拢.而当显示密度介于高密度和低密度之间时,物面的 F变换是基元的连续谱和光栅的分立谱的线性叠加.在物面向光栅结构靠拢的过程中,基元的结构信息逐渐丢失.当每个基元非常小,呈现极限光栅情况时,结构基元本身的信息被弱化至消失.

4.2 可能的有关应用

由于本实验应用的方法是针对平面做傅里叶变换,因此本文的实验原理可以用于反射式阿贝成像,从而可以观察使用传统的衍射观察法较难得到有效信息的结构,比如晶体的晶面等纳米或微米级平面结构,而且实验所需的设备也相比传统透射衍射有所简化.

利用本实验的原理可以设计出反射式光学傅里叶变换装置,及其他用于监控周期性重复结构生成的仪器.由之前的实验分析,由平面结构的第一类谱线可以获取结构的对称性信息;由第三类谱线的位置与分布,可以观察到平面密铺结构中尺度大于1个结构基元的周期.在结构包含的基元数量不是十分大时(几千至几十万个基元单位),应用本实验的原理,通过观察图样的傅里叶变换,可以比较容易地观察到结构的扭曲、周期性形变、填隙等结构缺陷.对于制备高纯度晶体、监控晶体掺杂过程或检查表面沉积结构具有一定的应用意义[9].

如果将实验所用的波长扩展至微波或无线电波波段,利用本实验原理理论上可以设计出形状和结构合适的密铺结构,使得被这个结构遮挡或覆盖的物体在其夫朗和费衍射区由于类光栅结构的干扰失去原有的特征频谱,转而呈现密铺结构的光栅频谱.在无线电通讯和探测技术中结合合适的设备,这种现象可有潜在的应用价值.

致谢:感谢南京大学大气科学学院何汉源同学为本实验提供摄影支持!

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[责任编辑:任德香]

Analysisof spatial spectrum of plane tessellation using Abbe imagingmethod

WANG Han-chen,L IU Jing,PAN Yong-hua,ZHOU Jin
(Department of Physics,Nanjing University,Nanjing 210046,China)

A bbe considered that a lens imaging p rocess w as equivalent to two stages of Fourier transfo rmation.An op tical Fourier transfo rmation system that contains a liquid crystal light valve and a lens was p resented.Tessellation imaged on the valve would show its Fourier amp litude spectrum or image on the screen on the other side of the lens.Changes of the tessellation structure would lead to redistributionsof the spectrum.A hypothesison the spatial spectrum redistribution during the p rocess that a tessellation shrinks into a grating-scale structure was p resented.

Abbe imaging;Fourier transformation;tessellation;spatial spectrum;grating

O438

A

1005-4642(2011)01-0005-06

2010-09-21;修改日期:2010-11-12

王汉琛(1989-),男,山东青岛人,南京大学物理系2008级本科生.

指导教师:潘永华(1971-),女,浙江义乌人,南京大学物理系高级工程师,学士,主要从事大学物理实验和演示实验教学研究.