一阶差分方程周期边值问题一个或多个正解的存在性

许晓婕，费祥历

(中国石油大学数学与计算科学学院，山东东营257061)

一阶差分方程周期边值问题一个或多个正解的存在性

许晓婕，费祥历

(中国石油大学数学与计算科学学院，山东东营257061)

用一类锥不动点定理首先给出一阶差分周期边值问题的存在性原则，并应用此原则论证了该问题一个或多个正解的存在性，最后通过例证对该问题加以说明。

周期边值问题;差分方程;正解;锥不动点定理

1 问题的提出

本文主要研究一阶差分周期边值问题一个或多个正解的存在性，其中是想得到的一个解。通常Δ表示向前差分，定义如下:

并且整数a≤b，［a，b］表示离散区间{a，a+1，…，b}。

常微分方程的初值和周期边值问题已被广泛地研究［1-4］，研究者主要是用上下解方法得出解的存在性结果。最近，关于一阶微分方程初值问题又有了些新的结论［4-7］。但是，关于一阶差分周期边值问题却很少有人研究。笔者应用锥不动点定理［8］给出一些新的条件，确保问题(1)解的存在性。类似于文献［9，10］的方法，证明一阶差分周期边值问题正解的存在性。

2 引理及定理

考虑线性周期问题

贯穿全文，假设问题(2)只有平凡解。显然非其次问题

其中

引理1如果当n∈［1，N］时，0＜a(n)＜1，则对任意的(n，s)∈［1，N］×［1，N］，G(n，s)＞0。

为了方便，本文中令

下面给出锥不动点定理［2］。

定理1X=(X，‖·‖)是一个Banach空间，K是X中的一个锥，并且两个常数r和R满足0＜r＜R。假设Φ∩K→K(这里ΩR={x∈X，‖x‖＜R})是一个全连续映射，如果

(i)当λ∈［0，1］且x∈K∩∂Ωr时，x≠λΦx，

(ii)当x∈K∩∂ΩR且δ＞0时，存在ψ∈K{0}使得x≠Φx+δψ，则Φ在K∩{x∈X:r＜‖x‖＜R}中有一个不动点。

注2在定理1中，如果(i)和(ii)用下面两个条件替换:

(i)*当λ∈［0，1］且x∈K∩∂ΩR时，x≠λΦx，

(ii)*当x∈K∩∂Ωr且δ＞0时，存在ψ∈K{0}使得x≠Φx+δψ，则Φ在K∩{x∈X:r＜‖x‖＜R}中有一个不动点。

3 主要结果

考虑如下周期边值问题:

函数f(n，ξ)满足f:［1，N］×R→R关于ξ连续。

注3称映射f:［1，N］×R→R连续是指从拓扑空间［1，N］×R到拓扑空间R上的连续。全文中拓扑空间［1，N］指的是离散拓扑。

定理2假设存在a(n)∈(0，1)和0＜r＜R使得

如果下面两个条件之一成立:

则问题(4)至少有一个正解。

证明由于M＞m＞0，改写方程如下:

考虑N-维Banach空间，

赋予范数

令

易证K是B中的一个锥。

当y∈B时，定义映射Φ

显然，Φ是B上一个全连续映射(详见参考文献［11］)。下面证明Φ(K)⊂K。

事实上，对任意的y∈K有

且

所以有

因此，Φ(K)⊂K。

首先假设条件(i)成立，证明问题(4)至少有一个解。

由第一个不等式可得

令ψ≡1，则ψ∈K。下面证明

假设式(7)不成立，则存在y0∈K∩∂Ωr和δ＞0使得

注意到y(n)≡1是边值问题(3)当h(n)=a(n)时的唯一解，则

因为y0∈K∩∂Ωr，则，则对任意的n∈［1，N］，有

这表明μ≥μ+δ0，矛盾。因此式(7)成立。

另一方面，由第二个不等式可得

则可证

如果式(8)不成立，则存在y0∈K∩∂ΩR和0≤λ0≤1，使得

显然，λ0＞0，‖y0‖=R。如果λ0=1，则y0=Φy0，y0就是边值问题(4)的一个解，所以只须考虑λ0＜1。因此对任意的n∈［1，N］，有

因此，‖y0‖=R＜R，矛盾。

式(7)和(8)表明注1成立，则Φ有一个不动点y∈K∩(¯ΕRΩr)。显然，这个不动点就是问题

(4)的一个正解，且满足r≤‖y‖≤R。

应用类似的方法可以证明当条件(ii)成立时，由定理1也可以得出相应的结论。

由定理2可以直接得出下面的几个结论。

定理3假设存在a(n)∈(0，1)和0＜r＜p＜R使得

如果下面两个条件之一成立:

则问题(4)至少存在两个正解y1，y2满足r≤‖y1‖＜p＜‖y2‖≤R.

证明只证明条件(i)成立的情况，条件(ii)成立的情况类似可得。完全类似定理2的证明，有

因此由定理1和注1可分别求得方程至少存在两个正解y1，y2，并且由式(11)易知r≤‖y1‖＜p＜‖y2‖≤R。

定理4假设存在a(n)∈(0，1)和0＜a1＜b1＜a2＜b2＜…＜an＜bn使得

如果下面两个条件之一成立:

则问题(4)至少存在n重正解yi(1≤i≤n)满足ai≤‖yi‖≤bi，1≤i≤n.

注4在定理4中，如果条件(i)和(ii)替换成下面两个条件:

则方程(4)至少存在2n－1重正解。

4 应用

假设函数f(n，ξ)满足f:［1，N］×［0，+∞)→［0，+∞)关于ξ连续。需要说明的是在求解周期边值问题正解的存在性时并不需要知道m，M的确切数值。

考虑周期边值问题

其中0＜a(n)＜1。

为了叙述方便，引入下面的符号:

本节还需假设下面一些条件成立:

(H3)存在一个p＞0，只要，就有对任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＜a(n)p;

(H4)存在一个p＞0，只要就有对任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＞a(n)ξ。

注5存在一个p＞0，只要，就有对任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＜a(n)ξ，(H3)成立。

注6存在一个p＞0，只要，就有对任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＞a(n)p，(H4)成立。

定理5假设(H1)和(H3)成立，则边值问题(12)至少有两个正解使得0＜‖y1‖＜p＜‖y2‖且对任意的n∈［1，N］，0＜y1(n)＜p＜y2(n)。

证明分别取r充分小和R充分大，则由定理3直接可得定理5。特别地，有下面的结论:

推论1由下面的条件

替换(H1)，定理5的结论仍然成立。

定理6假设(H2)和(H4)成立，则边值问题(12)至少存在两个解和y2=使得0＜‖y1‖＜p＜‖y2‖且对任意的n∈［1，N］，0＜y1(n)＜p＜y2(n)。

证明分别取r充分小和R充分大，则由定理3直接可得定理6。

推论2由下面的条件:

替换(H2)，定理6的结论仍然成立。

定理7如果下面两个条件:

有一个成立，则边值问题(12)至少有一个正解。

证明由定理5和定理6类似证明可得。

推论3如果下面两个条件:

(1*)f0=∞且f∞=0(次线形)和(2*)f0=0且f∞=∞(超线性)有一个成立，则边值问题(12)至少有一个正解。

例1如果a(n)∈(0，1)，0＜α，β＞1，或者α，β＞1，则边值问题

至少有一个正解。

证明非线性项f(n，y(n))=yα(n)+yβ(n)，如果a(n)∈(0，1)，0＜α，β＞1，则f0=∞，f=0;如果α，β＞1，则f0=0，f∞=∞。无论哪种情况，由推论3边值问题(13)至少有一个正解。

例2假设方程

其中a(n)∈(0，1)，0＜α＜1＜β，δ(n)＞0，则方程(14)至少有两个正解，如果

证明为了证明此结论，应用推论3，非线性项f(n，y(n))=δ(n)［yα(n)+yβ(n)］，显然

则T(0+)=T(∞)=0且

这说明(H3)成立。

因此推论1的条件均满足，所以方程(14)至少有两个正解。

［1］姚庆六.非线性二阶周期边值问题n个正解的存在性［J］.中国石油大学学报:自然科学版，2009，33(4):175-178.YAO Qing-liu.Existence of n positive solutions to a nonlinear second-order periodic boundary value problem［J］.Journal of China University of Petroleum(Edition of Natrural Science)，2009，33(4):175-178.

［2］DECOSTER C，HABETS P.Upper and lower solutions in the theory of ODE boundary value problems:classical and recent results［M］//Zanolin.Nonlinear analysis and boundary value problems for ordinary differential equations.CISM-ICMS，371，New York:Springer，1996:1-78.

［3］LADDLE G S，LAKSHMIKANTHAM V，VATSALA S.Monotone iterative techniques for nonlinear differential equations［M］.London:Pitman Advanced Publishing Program，1985.

［4］ZHANG Xiao-ying，LI Xiao-yue，JIANG Da-qing，et al.Multiplicity positive solutions to periodic problems for first-order impulsive differential equations［J］.Computers and Mathematica with Applications，2006，52:953-966.

［5］AGARWAL R P，O'REGAN D，LAKSHMIKANTHAM V，et al.Existence of positive solutions for singular initial and boundary value problems via the classical upper and lower solution approach［J］.Nonlinear Analysis，2002，50:215-222.

［6］AGARWAL R P，O'REGAN D.Singular problems:an upper and lower solution approach［J］.J Math Anal Appl，2000，251:230-250.

［7］AGARWAL R P，O'REGAN D.Singular initial and boundary value problems with sign changing nonlinearitis［J］.IMA J Appl Math，2000，65:173-198.

［8］DEIMLING K.Nonlinear functional analysis［M］.New York:Springer-Verlag，1985.

［9］TORRES P J.Existence of one-signed periodic solutions of some second-order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem［J］.J Differential Equations，2003，190:643-662.

［10］LIN Xiao-ning，WANG Hong，JIANG Da-qing.Existence of single and multiple solutions for first order periodic boundary value problems［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series)，2007，23(2):289-302.

［11］MERDIVENCI A F，GUSEINOV G Sh.Positive periodic solutions for nonlinear difference equations with periodic coefficients［J］.J Math Anal Appl，1999，232:166-182.

(编辑 修荣荣)

Existence of single and multiple solutions for first order discrete periodic boundary value problems

XU Xiao-jie，FEI Xiang-li
(College of Mathematics and Computational Science in China University of Petroleum，Dongying 257061，China)

The existence principle of single and multiple positive solutions for the first order discrete periodic boundary value problems was studied by employing a fixed point theorem in cones.Based on this principle，the existence of single and multiple positive solutions for the problems was given.Some new results about nonlinear difference equations on a finite discrete segment with periodic boundary conditions were demonstrated.

periodic boundary value problem;discrete equation;positive solution;fixed point theorem in cones

O 175.08

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.01.036

2010－01－12

中国石油大学(华东)基础科研基金(Y070815)

许晓婕(1977－)，女(汉族)，辽宁凤城人，讲师，博士研究生，从事微分方程理论及应用研究。

1673-5005(2011)01-0179-05