变环境条件下型号设备的可靠性估计

胡尧，卢大远

(贵州大学数学系，贵阳550025)

变环境条件下型号设备的可靠性估计

胡尧，卢大远

(贵州大学数学系，贵阳550025)

文章讨论了变环境条件下，Weibull寿命分布型号设备可靠性的估计问题：固定形状参数，在寿命特征参数为环境指标一元多项式情形下给出了可靠性估计方法；利用强大数律及控制收敛定理证明了估计量的强相合性，并通过大量仿真数据模拟说明了方法的可用性。

变环境；Weibull分布；可靠性估计；强相合性

0 引言

变环境条件下同型号设备的可靠性会发生变化。随着环境指标的不断恶化或不断改善，可靠性形成环境指标的函数，称为可靠性曲线[1][2]。估计出该条曲线后，就可以对变环境情形下的型号设备可靠性给出合理的预测。文献[1]针对Lognoraml类寿命分布，在完全样本情形下研究了同型号设备不同环境下的可靠性估计问题，文献[2]在完全样本情形下，对Lognormal与Weibull两类寿命分布变环境可靠性估计问题作了进一步的研究，得出可靠性与环境指标的单调递增关系。本文拟在文献[1][2]的基础上，针对Weibull类型号设备寿命分布情形，研究寿命特征参数η与环境指标的关系，给出Weibull类变环境完全样本条件下的可靠性估计问题，并证明相关研究理论，通过模拟说明估计方法的可用性。

用T表示某型号设备在正常使用环境下的寿命时间，称该型号设备至少能正常工作t单位时间的概率R(t)=P(T>t)为型号设备的可靠性。可靠性估计是产品质量评估中的常见问题，如果给定i.i.d.序列T1，T2，…，Tn，定义随机事件，用经验分布函数估计F(t)，从而可用Rn(t)=1-Fn(t)估计型号设备的可靠性R (T)。由Glivenko-Cantelli定理可知Fn(t)几乎必然（a.s.almost surely）收敛于F(t)，理论上可以证明Rn(t)也a.s.收敛于R(t)，即Rn(t)是R(t)的强相合估计，故用Rn(t)作为R(t)的估计。当n→∞时，由中心极限定理CLT(central limit theorem)可得

其中

同理，可以构造出R(t)的置信度为1-0.05的近似置信上、下限分别为

在具体工程问题中，型号设备的可靠性随着使用环境的恶化或改善其环境指标e也随之变化，环境指标e可以是单一指标如温度、湿度、震动、电流、电压等，也可以是用级别表示的变环境指标的综合。用Te表示在变环境指标e下型号设备的使用寿命，Re(t)表示变环境指标e条件下型号设备的可靠性。给定总体Te的简单随机样本

由前所述可用R赞e(t)估计Re(t)，对于每个变环境指标e1

在型号设备的可靠性研究中，Weibull分布[4]是一种很有用的寿命分布，已普遍运用于各类寿命设备可靠性评估分析中。本文从应用的角度出发，假定变环境指标为e时，型号设备寿命总体Te服从Weibull分布，则型号设备的可靠性[5]为

由于Weibull分布的形状参数β，仅表明失效模式或失效机理的类型，与型号设备的使用环境关系不大，变化甚微。在此假定为常数或恒量(β≥1)，即各类环境指标下其型号设备失效机理相同，而寿命特征参数η与环境的变化有紧密联系，假定其与环境指标e的函数关系为η(e)，本文假定关系为

如果η(e)在[a，b]内单调增加(或减少)，本文证明了可靠性Re(t)在[a，b]内单调增加(或降低)，并称此时的η(e)为(0，e)内的环境改善(或恶化)模型。

给定不同变环境指标下的样本

其中e(i)为ei的顺序统计量。

下面将给出Re(t)的一致强相合估计和预测，并利用计算机随机模拟验证估计量和预测估计量的实用性。

1 主要结果及证明

定理1设Te服从Weibull分布，其可靠性由(3)式定义

（1）若η(e)在[a，b]内单调减少，则η(e)为[a，b]内的环境恶化模型；

（2）若η(e)

在[a，b]内单调增加，则η(e)为[a，b]内的环境改善模型。

证明:对于e∈[a，b]，设Te服从于Weibull(β，η(e))(β≥ 1)，则对当η(e)单调减少时

故Te随机小于Ts，根据可靠性定义，于是得到Re(t)

在实际问题中，由于形状参数β如前所述，随环境指标e变化缓慢，只有寿命特征η(e)随e变化，即有关系η(e)，故本文假定在较短的时间段内将β视为微小变化，随后的模拟计算视为常数(通常是(β≥1)且不随环境指标变化)。

给定环境指标(5)式，对于每个固定的i，Te(i)j(j=1，2，…，ni)是来自分布总体Weibull(βi，ηi),其中βi的极大似然ML(maximum likelihood)估计值满足

ηi-η(ei)的可由（7）式计算得

这样就可以得到

即

记

则有(10)式可写成

当rank(E)=p+1≤k时,E的前p+1行构成Vandermonde行列式。故E是可逆矩阵,即可从(4)式得到

其中ET为E的转置,依据多元线性回归模型理论[7]可得回归系数b=(b0，b1，…，bp)T的最小二乘估计LSE(least square estimate)

定理2设rank(E)=p+1≤k有环境指标数据e(1)，e(2)，…，e(k)，总体Ti=Te(i)的可靠性Re(i)由(3)式定义，假设不同的总体Ti是相互独立的,对于来自总体Ti的样本Tij（i=1,2,…,k；j=1,2,…,ni），则有

利用(8)式和内积不等式可得

表1样本为500个重复2000次时的可靠性估计

即结论(2)成立。下面讨论预测问题。

对于a

定义β的估计量

用

作为可靠性Re(t)的估计。

证明:由定理2得

其中c0是只与a,b,k,p有关的常数,由强大数律SLLN (strong laws of large numbers)可证分别是σ2、η、β的强相合估计,用控制收敛定理即有R赞e(t)几乎必然a.s.收敛于Re(t),又与Ret(a≤e≤b)单调连续,故在区间a≤e≤b上一致收敛于Re(t)。

2 模拟计算分析

2.1，2 .3，2.5，2.7，2.8，2.9，3.1，3.2，3.4，3.5，3.6，3.7，3.9，4.1，4.2，4.5

用MATLAB分别产生500个参数为(η(ei),β)的Weibull随机变量，利用(6)、(7)式计算参数ηi与βi的极大似然估计MLE值,利用(13)式与(15)式计算ai的最小二乘估计LSE值，再利用(14)式计算与β,最后利用(16)式计算出可靠性估计值

通常考虑各种随机因素的影响,将上述步骤独立重复2000次,用mean(R赞e(t))表示这2000次计算结果的样本均值,用表示这2000次计算结果的样本方差表示各类环境指标下的真值,结果比较下表1。

图1是模拟分析一真值η(e)与重复2000次的估计值η赞(e)。

案例2 用同样的方法,取β=2,每次随机产生1000个随机数据,独立重复2000次计算结果如表2。

表2 样本为1000个重复2000次时的可靠性估计

图2是模拟分析二真值η(e)与重复2000次的估计值η赞(e)。

3 结论

模拟计算结果显示,前面所提出的变环境可靠性计算方法其精度通常能达到实际Weibull型号设备的可靠性评估要求。本文提出的变环境模型基本解决了不同运行环境指标下的Weibull类产品的可靠性预测问题；同时为变环境情形下变参数变动统计学可靠性问题应用研究打下了一定的理论基础,为进一步研究不完全样本(删失、截尾、分组数据)或无失效寿终数据的可靠性估计或评估问题带来一定的契机。

[1]何书元,赵宇,房祥忠.估计不同环境下的设备可靠性[J].数理统计与管理，2007,26(6).

[2]Yao Hu,Mei Yang.Equipment Reliability Estimation of Complete Samples Under Varied Environment[J].ICRMS,2009(7).

[3]陈家鼎,孙山泽,李东风.数理统计学讲义[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[4]Dr.Robert B.Abernethy.The New Weibull Handbook(4thEdition) [M].Printings,2003，（8）.

[5]陈家鼎.生存分析与可靠性[M].北京:北京大学出版社,2005.

[6]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2003，（6）.

[7]王松桂,陈敏,陈立萍.线性统计模型[M].北京:高等教育出版社, 1999.

（责任编辑/亦民）

O212

A

1002－6487（2011）06－0032-03

贵州省自然科学基金资助项目(黔科合J字[2008]2048号)；贵州省科技计划资助项目(黔科合SY[2010]3002)；贵州大学创新性实验资助项目(贵大国创字(091065706）号