一元幂指函数的微积分性质及应用

张勇军，何文峰，符一平

(海南大学信息科学技术学院，海南 海口 570228)

一元幂指函数的微积分性质及应用

张勇军，何文峰，符一平

(海南大学信息科学技术学院，海南 海口 570228)

幂指函数是一类非常重要的函数，它在实际生活中会经常遇到。因此，更进一步的了解和掌握幂指函数的各种性质，对解决一些实际问题非常的重要。介绍了幂指函数的一些微分性质。

幂指函数；微分；积分；性质

《数学分析》和《高等数学》教材中对于幂指函数的内容非常少，仅仅只给出了幂指函数的定义[1]及一些求导公式[2]，而且例题与课后的习题也很少。然而在其他的一些教材、参考资料以及近几年的研究生入学考试中却又经常出现，于是对幂指函数的性质更进一步的了解与掌握是非常必要的。笔者就幂指函数的微积分性质进行了一些研究及应用。

1 一元幂指函数的微分性质

定理1一元幂指函数y=u(x)v(x)(u(x)>0,u(x),v(x)均为可微函数)的微分公式为：

dy=[u(x)]v(x)[v(x)lnu(x)]′dxd2y=[u(x)]v(x){[v(x)lnu(x)]″+[v(x)lnu(x)]′2}dx2

d3y=[u(x)]v(x){[v(x)lnu(x)]‴+3[v(x)lnu(x)]″[v(x)lnu(x)]′+[v(x)lnu(x)]′3}dx3

……

dn+1y={[u(x)]v(x)[v(x)lnu(x)]′}(n)dxn+1

证明

dy=d[u(x)v(x)]=[u(x)v(x)]′dx=[u(x)v(x)][v(x)lnu(x)]′dx

={[u(x)v(x)]{[v(x)lnu(x)]‴+([v(x)lnu(x)]′2)′}

+{[v(x)lnu(x)]″+[v(x)lnu(x)]′2}[u(x)v(x)]′}dx3

2 一元幂指函数的积分性质

定理2若u(x),v(x)为可微函数，且u(x)>0，则:

证明因u(x),v(x)为可微函数，且u(x)>0,故:

3 应 用

例1设y=xx(x>0),求dy,d2y,d3y,…,dn+1y。

解由定理1得：

dy=xx(xlnx)′dx=xx(1+lnx)dx

解法2利用幂指函数xx+1的微分变形:

[1]同济大学数学系.高等数学(上册)[M]. 第6版.北京：高等教育出版社，2007:102-106.

[2]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2001：101.

[3]徐文雄.高等数学(上册)[M].北京：高等教育出版社，2004：85，183.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.09.003

O157.1

A

1673-1409(2011)09-0006-02